数学和流行病学

数学和流行病学文本块数学是研究人口中感染生长的有用工具,例如流行病中发生的事情。通过一阶微分方程给出了一个简单的模型物流方程式, $\frac{dx}{dy}= beta x(1-x)$,几乎在任何微分方程教科书中都有讨论。例如,可以在博伊斯和迪普利马的书的第二章中找到基本微分方程和边值问题.(看MR0179403这是对1965年第一版的简短回顾。)这是一个基本的模型,但数学家们在它的基础上建立了更现实、更有用的模型。对如何使用流行病的数学模型作了详实的解释,包括确定生殖数量的重要性$ r_0 $的传染病,这个视频汤姆布里顿是斯德哥尔摩大学的数学统计学教授。布里顿是其中之一

MR3015083
Diekmann,Odo.(nl-utre-ndm);Heesterbeek,汉斯(nl-utre-ndm);布里顿,汤姆(S-STOC-NDM)
理解传染病动力学的数学工具。
普林斯顿系列理论和计算生物学。普林斯顿大学出版社,普林斯顿,NJ,2013.ISBN: 978-0-691-15539-5
92-01(62P10 92D30)

审查将在下面复制。

如果您有兴趣探索建模流行病中使用的一些数学,可以使用MSC 92D30搜索MathScinet,这是流行病学的五位数类,特别是在人口动态的背景下。除了审查Britton的书籍外,还有其他一些评论也在下面复制,有助于了解流行病学中使用的数学感。


MR3015083
Diekmann,Odo.(nl-utre-ndm);Heesterbeek,汉斯(nl-utre-ndm);布里顿,汤姆(S-STOC-NDM)
理解传染病动力学的数学工具。
普林斯顿系列理论和计算生物学。普林斯顿大学出版社,普林斯顿,NJ,2013.ISBN: 978-0-691-15539-5
92-01(62P10 92D30)

这本教科书是从另外两本书中衍生出来的,这两本书都是十多年前由(大致)同一组作者出版的。第一本是由迪克曼(O. Diekmann)和赫斯特比克(J. A. P. Heesterbeek)写的传染病的数学流行病学[Wiley Ser。数学。计算。Biol。,Wiley,Chichester,2000;MR1882991]并专注于确定性流行病学系统。由H. Andersson和T. Britton撰写的第二本书被称为随机流行模型及其统计分析[Statist讲义。那151, Springer, New York, 2000;MR1784822]并专注于随机流行病学系统。本书归入这些前面的出版物,整合和扩展其内容。虽然早期的书籍具有不同风格(一个是教科书,一个是专着),当前的书是一本教科书,用众多练习和解决方案。

在文本的序言中,作者描述了他们的觉得这本书的优点,以及这些优点如何连接到其数学和生物内容:“我们的书的价值$ \ dots $不在做出定理样式的严格数学$ \ dots $.这本书的价值在于展示如何使用数学推理和分析,在传染病动力学中非常精确地建模现象。数学是工具,而不是目的。”对于这本书的读者,谁碰巧是一个数学家,这种透明度提供了一个有用的事实提醒,虽然这本书是一本数学书,数学本身只起次要作用。事实上,一个长期存在的挑战任何应用数学是从追求追求实际的摘要的摘要,而这种从属化通常既不容易也不简单。重要的是,数学读者要了解,即使作者在本文中的数学表征为仅仅是“工具”,即使是“工具”,毫无意义的情况会使数学琐碎,或数学家多余的工作。本书中的数学是有趣的,复杂,微妙的,并且其对疾病传播问题的生产应用是一件难题。这本教科书做了一个出色的工作,说明了这个艺术的细微差别和力量。

这本书分为三个主要部分。第一个题目是“最简单的框架:最简单的背景下的基本问题”,并说明了关键概念,而没有将人口划分为阶级所带来的复杂性。作者首先给出了基本繁殖数的描述性定义R_0美元在这本书的第二部分,他们将这个量描述为“可以说是传染病流行病学中最重要的量”。它们说明了……的重要性R_0美元在几种环境中,包括确定性和随机疾病动态的那些。他们简要介绍了人口水平异质性问题,尽管他们将这个话题的严肃讨论到了本书的第二部分。作者还介绍了推理的想法,特别是最大似然估计器,但再次,对此事的详细讨论将推迟到以后。

本书的核心处理结构化群体,包括文本的第二个主要部分的主题。“结构”可以是各种各样的,包括年龄,位置,感染性或其他特征。为了跟踪这些特征,作者介绍了概念$ i $州和$ p $,前者由个体特征的当前值组成,后者是这些特征在整个人口中的分布。他们注意到,个体水平的变化会导致群体水平的变化,而“这个方程$ p $- 一旦簿记,基本上就获得了最佳变化$ i $状态动力学已经被描述。”在这个框架内,作者定义了基本繁殖数R_0美元作为“下一代基质”的最大特征值,即在异源人群内指定各代的感染性模式的基质。显然,这种模式的性质取决于所考虑的特定异质性:除其他涉及异质性的其他概念之外,作者还在年龄和空间结构化群体的细节上锻炼了细节。

文本的第三部分专注于推理,作为具体案例研究的汞合金,可以在某种意义上被认为是本书的最“实用”部分。作者讨论了估计方法R_0美元从机械模型到涉及医院感染的案例研究,说明了数据有效和有效的数据。他们将本节缔结本节简要介绍计算统计。整个第三部分小于前两个部分的长度的三分之一,并且具有CODA的感觉。

本文的出色特征之一是它挑战读者自己挑战解决方案的方式。在文本的身体内交错是许多练习,其中许多人要求读者证明核心概念,或者在文本中提出的想法或定义探索深度含义。虽然不是每个读者都希望投入完成所有练习的时间,作者评论称“奖励是巨大的。在实际上通过这本书工作,读者可以获得在流行病学外面的建模技能,肯定在人口动态范围内,但甚至超出这一点。“对于时间有限的读者,或者也许已经拥有这些技能的读者,在书背面提供了每个问题的详细答案。

这本教科书是一个优秀的添加到一个不断增长的文学体上的传染病建模。其他涉及类似主题的书籍包括n.t. J. Bailey [传染病的数学理论及其应用,第二版,哈夫纳新闻,1975年出版社纽约;MR0452809, R. M. Anderson和R. M. May [人类传染病:动态与控制,牛津大学。新闻,牛津,1991],M. J. Keeling和P. Rohani [对人类和动物的传染病建模,普林斯顿大学出版社,新泽西州,2008;MR2354763, E. Vynnycky和R. G. White [传染病建模介绍,牛津大学。新闻,牛津,2010],而由F. Brauer,P.Van den Driessche和J. Wu编辑的书[数学流行病学,数学讲义笔记。,1945年,斯普林克,柏林,2008;MR2452129]是一个集体,覆盖大量相关材料的个别物品的集合。本文的明显教学特征使其成为努力学习贸易基本工具的杰出选择。对本文进行认真研究的数学家将处于一个优越的地位,可以在疾病传播的理论或数据驱动的问题上果断地努力工作。

审查Carl A.脚趾


MR1814049.
Hethcote,赫伯特·W。(1-IA)
传染病的数学。(英文摘要)
暹罗牧师。42(2000),不。4,599 - 653。
92D30(34C60 35B32 35F25 35Q80)

本文是对传染病数学的调查,但有一些新的曲折。调查部分由前两个部分组成,描述了古典疫情和流行模型及其应用。在第三节中引入的新扭曲是通常的隔间$ s,e,我,r $,易感,暴露,传染性和去除,加入课堂$ m $婴儿患有母体抗体给予被动暂时性免疫。所以转移图是$M到S到E到I到R$.这MSEIR美元模型被认为是标准指数分布的等待时间,大规模行动接触,但不常数群体大小。在除以总人口规模的情况下,为比例获得方程美元$ m e ir.基本生殖号码R_0美元,并证明通常的阈值条件适用:如果$ r_0 \ Le 1 $无病平衡是全球吸引;如果$ r_0> 1 $那么唯一的地方性平衡就是局部吸引。一个悬而未决的问题是这个平衡是否吸引了所有的解$ e (0) + i(0) > 0美元但持久性理论是用来建立极限下极小值$ i(t)$超过一些肯定的初始条件无关的阈值。因此,疾病仍然存在$ r_0> 1 $

的年龄相关性MSEIR美元用可分离接触率对模型进行了处理,描述了模型的基本再生数,并利用Lyapunov-LaSalle定理,给出了无病平衡点的形式化全局稳定性论证$ r_0 \ Le 1 $,得到了特有平衡的表达式。给出了平均感染年龄的表达式,并详细说明了与发展中国家有关的、所有人都能活到老年的指数分布死亡率的特殊情况$ l $并死于发达国家。

最后,西珥美元考虑了具有年龄组的模型。在将年龄轴分配到有限的间隔内,获得了杂散系统,假设死亡率,生育率,并且所有流行病学率在子间隔上是恒定的。同样,重点是基本生殖号,无病平衡的稳定性R_0 \ le1美元和地方病平衡时$ r_0> 1 $.持久性理论用于建立人口中疾病的持久性$ r_0> 1 $.得到了平均感染年龄的表达式,并将该模型应用于尼日尔的麻疹。

审查Hal Leslie Smith.


MR2821582
灰色,A。(4-Stra-MS);格林哈尔希,D。(4-Stra-MS);胡,L。(PRC-DHU-AM);毛,X.(4-Stra-MS);潘,J.(4-Stra-MS)
一种SIS流行模型的随机微分方程。(英文摘要)
暹罗j .达成。数学。71.(2011),不。3.876-902。
92D30(34C60 34D05 34F05 60H10 92D25)

作者研究了从确定性框架到随机框架的古典敏感感染易感(SIS)疫情模型的延伸。它们以传染性的数量为随机微分方程(SDE)的模型。$ i(t)$.他们证明,这个SDE具有独特的全球正面解决方案。作为关键参数,一个随机变体$ r_0 ^ s $古典(确定性)基再现号美元$ R_0 = R_0 ^ D是用来建立持久性条件的吗$ i(t)$并且对于疾病的灭绝。在本文中,表明,对于该模型,随机基本再现数$ r_0 ^ s $小于美元R_0 ^ D $.在坚持不懈的情况下,作者展示了静止分布的存在,从而导出表达式的均值和方差。使用基于现实寿命疾病的实例来说明结果。

审查andreasgünter韦伯


MR1954511
阮,萧(1-MIAM);王,温迪(中国-WNU)
具有非线性发生率的流行病模型的动态行为。(英文摘要)
J.微分方程188.(2003),不。1,135 - 163。
92D30(34C23 34C60 37N25)

详细分析了一种常规差分方程SIRS流行病模型,具有敏感,感染和移除的个体。该模型假设持续招募进入易感类和饱和的发病率$ ki ^ 2s /(1+ \ alpha i ^ 2)$代替常规的大规模行动或标准发病率。通过这种饱和的发射,不会发生基本的再现数阈值条件。全局和分叉分析表明,疾病死亡或存在一个区域,使得疾病在该地区以外的初始值模拟,但持续在该区域内的初始值。在后一种情况下,可以获得丰富的动态,并且模型可能经历Bogdanov-Takens分叉。根据参数值,可能存在无,一个或两个限制周期。发现的一个有趣的结果是抑制因子$ \ alpha> 0 $减少疾病持久性的可能性。

审查Pauline van den Driessche


MR1857535
李,迈克尔·Y。(3-AB);史密斯,哈尔L.(1-AZS);”连城王(1-GSO)
具有垂直传播的SEIR传染病模型的全局动力学。(英文摘要)
暹罗j .达成。数学。62(2001),不。1,58 - 69。
92D30(34C60 34D20)

这是一个有趣的论文,其具有垂直传输的全球动态结构的全局动态结构,具有垂直传输。总而言之,论文表明,疾病传播的动态由生殖号码控制$ r_0(p,q)$, 在哪里$ p $问美元是来自暴露和传染性课程的感染的新生儿的分数。如果$ r_0(p,q)\ Le 1 $,然后无疾病平衡是全球稳定的;如果$ r_0(p,q)$超过$ 1 $然后存在独特的流行均衡,吸引了所有阳性解决方案。

以上述类型的动态行为已知为生成单调流量的SIS(易感染性 - 易感性)模型以及SIR(易感染的可移除)模型,其中模型可以减少到二维系统,因此可以有效地进行定性分析。SEIR类型的模型考虑了可能由垂直疾病传播等可能引起的可能性延迟疾病传播等。因此,额外的类是感染但尚未传染的宿主被添加到模型中。在恒定总群体的假设下,可以将SEIR模型减少到微分方程的三维系统。然而,三维系统的全局分析远远不断微不足道。这main approach of the paper is to exclude the existence of a nontrivial periodic solution by showing that the second compound equation with respect to any solution of the original system is uniformly asymptotically stable, a technique developed earlier by M. Y. Li and J. S. Muldowney [SIAM J. Math. Anal.27(1996),没有。4,1070-1083;MR1393426]。随着当地的进一步使用$ c ^ 1 $由于pugh的闭合引理权,作者能够得出结论$ \ omega $每个非负解对应的-极限集必须是平衡态。本文所介绍的方法对研究SEIR型方程是非常有效的,并有可能应用于其他微分方程。

审查Wenzhang Huang.


MR1770939.
范登德里埃施(3-VCTR-MS);詹姆斯(3-VCTR-MS)
一种简单的SIS流行病模型,具有后向分叉。(英文摘要)
j .数学。医学杂志。40(2000),不。6,525-540。
92年d30 (34 k18 34 k60)

作者认为具有非恒定接触率的SIS流行病模型。该模型基于Volterra积分方程,包括普通微分方程和延迟微分方程作为特殊情况。本文的主要重点是调查均衡数量及其对生殖数的稳定性的依赖性。再现数是由引入无疾病群体的单一感染性的人产生的预期新感染次数。具有恒定接触率的经典疾病传输模型具有独特的稳定平衡。作者表明,如果接触率不恒定,而且相当于感染性的级分的功能,那么SIS流行病模型可能具有多个稳定的平衡,落后分叉和滞后。作者调查了均衡的本地和全球稳定性。

审查Curtis C. Travis.


MR2086967
布雷德·弗雷德(3-BC)
简单疫苗接种模型中的向后分叉。(英文摘要)
j .数学。肛门。苹果。298(2004),不。2,418-431。
92年d30 (34 c23 37机n25)

本文讨论了疫苗接种的某些简单的疾病传播模型。给出了存在多种地方均衡和向后分叉的情况的条件。模型的定性分析依赖于中心歧管定理和正常形式的检查。特别地,指出,具有疫苗接种的模型可能表现出倒影,使模型的行为更复杂而不具有相应的模型而无需接种疫苗。在某些以前的作品中,它已被争论,即部分有效的疫苗接种计划,仅适用于风险的一部分人口,可能会增加艾滋病毒/艾滋病疫情爆发的严重程度。作者发现了系统在基本生殖数字等于1的点处存在向后分叉的条件。还表明,如果它只对应于分叉曲线上的点,则系统的流动性平衡是局部渐近的稳定性斜坡是正的。通过将结果扩展到参数可能取决于感染水平的模型,本文能够在一些生物学上得出结论,其中一个是,虽然引入疫苗接种政策可能导致落后的分叉,但它始终降低感染性人口大小。可能由于疫苗接种政策的危险而产生的未预见的向后分叉分叉可以通过较大的疫苗接种部分来抵消以控制疾病。 Thus, it is possible to control the disease if a vaccination program can be developed which is completely effective, and decreases the contact rate, so that backward bifurcation does not arise. It is also argued that even a vaccination program which is not fully effective may be a useful approach in controlling infections.

审查Yongwimon Lenbury

MR0840096(87: 92016)综述了
球,弗兰克(4-nott)
流行模型中感染术中总尺寸和总面积分布的统一方法。
adv。在苹果。probab。18(1986),不。2,289 - 310。
92A15

本文提供了统一的概率方法,以分配总尺寸和总面积的轨迹,该概率在传染期具有任何特定分布的一般随机疫情的传染性的轨迹下。作者的概括结果在异构人口中传播的流行病的结果是简单的。
贝利(1975)的一般随机流行病使用马尔可夫模型来研究感染在封闭的均匀混合人群中的传播。最初有$ a $感染物和$ n $易感人群。让$ x(t)$$ y(t)$$ z(t)$表示当时易感、感染和被移除个体的数量t \ ge0美元.流行病完全由该过程规定$ \ {x(t),y(t),t \ ge0 \} $.一旦感染人数变为0,转移就会停止。让$ N ^ \ ast = N * (\ infty)美元为流行病的总规模,即最初易感者最终感染该疾病的人数,并让$ p_w = p(n ^ \ ast = w)$$ w = 0,1,2,\ cdots,n $distribution美元$ N ^ \ ast.Whittle(1955)已经研究了分布$ \ {P_w \} $

感染性轨迹下的总面积是统计数据$ T_A = \ int ^ \ infty_0Y (t) \, dt美元并在文献中得到了相当大的关注。换句话说,$ t_a $是在流行病过程中的总人员时间单位。分布$ t_a $是由Gani和Jerwood(1972)研究的,是流行病成本的一个重要组成部分。$ t_a $也与疫情最终传播的概率结构密切相关。

Three assumptions are made in a general stochastic epidemic that are unlikely even approximately to be met in many real-life epidemics: (1) there is no latent period, i.e., newly infected susceptibles are immediately able to infect further susceptibles, (2) the infectious period is exponentially distributed and (3) the population is homogeneously mixing. The present author shows that the distribution of$(n ^ \ ist,t_a)$与潜伏期的相当普遍假设是不变的。作者进一步提出了对分布的统一方法美元$ N ^ \ ast$ t_a $对于一个模型,其中感染期可以有任意给定的分布。该结果推广到包含均匀混合的多种群流行病模型。本论文直接利用了流行病的概率结构,这反过来又增强了我们对流行病传播机制的洞察力。

这篇论文的一个基本结果是证明了沃尔德对流行病的认同:定理:适用于所有人t \ ge0美元$$ e [\ exp(-tt_a)/ \ varphi(t)^ {n ^ \ ast + a}] = 1,$$在哪里$ \ varphi(t)= e [\ exp(-tt_i)] $矩的母函数是T_I美元

通过区分这一结果元新台币,得到结果$ E (T_A) = (E [N ^ \ ast] +) \ cdot E (T_I)美元,这概括了唐顿(1972)的结果对一般随机疫情。

这些结果推广到多种群流行病模型。假设一群个体被分成$ m $团体。最初有N_i美元易感人群,$ a_i $集团的感染者$ i $$ i = 1,2,\ cdots,m $.如果我\ ge1美元j \ le美元美元,假设在组中给定的个人$ j $在组中与给定的个人充分接触$ i $在均匀泊松率的点$ \ beta_ {ij} $.注意$ \ beta_ {ij} \ ne \ beta__ {ji} $.不同成对的个体之间的接触过程是相互独立的。通过为感染率选择特定形式$ \ beta_ {ij} $和传染病期,在文献中得到了许多传染病模型。如果假设感染周期是指数分布的,则可以得到沃森(1972)模型。如果假设$ \ beta _ {ij} = \ beta_i $$ i = 1,2,\ cdots,m $$ j = 1,2,\ cdots,m $,得到作者讨论的Gart流行病(1985)。假设传染病周期均为常数,则传染病过程的总规模分布与多种群的里德-弗罗斯特链二项传染病的总规模分布相同。宿主-向量模型和空间模型也是作者一般模型的特例。

审查b·拉奥

《阿凡达》

关于Edward Dunne.

我是《数学评论》的执行主编。之前,我在AMS图书计划做了17年的编辑。在为AMS工作之前,我曾在莱斯大学、牛津大学和俄克拉何马州立大学从事学术工作。1990-91年,我在海德堡的斯普林格公司工作。我是哈佛大学的博士。我在圣克拉拉大学读本科时接受了世界级的文科教育。
这一条目已登载新闻中的数学.书签书签永久链接

发表评论

您的电子邮件地址将不会被公布。必需的地方已做标记*

不允许HTML标记。

32,261辆垃圾桶堵塞简单评论