希尔莱尔弗斯滕贝格和格里戈里马古利斯赢得阿贝尔奖

“亚伯奖”Hillel FurstenbergGrigoriĭ Margulis被宣布为2020年亚伯奖的得主。你可以看官方公告这里。There is a news item about the prize on theAMS website. 不用说,他们对数学做出了巨大的贡献。在这篇文章中,我将指出一些关于来自MathSciNet的Furstenberg和Margulis的事情。

Note:陶喆在他的博客上有一篇短文blog,这指向了他提到弗斯滕贝格或马古利斯的其他更长的帖子。

Note (added 3/19/2020):张肯尼斯has an informativearticle in the New York Times关于阿贝尔奖和今年的奖品获奖者。

首先,嬉说,我们可以看到它们之间的MR协作距离是3:

Grigoriĭ Aleksandrovich Margulis 合著者 Anatoliĭ Moiseevich Vershik MR1422247
Anatoliĭ Moiseevich Vershik 合著者 Harry Kesten 2292144美元
Harry Kesten 合著者 Hillel Furstenberg MR0121828

So Furstenberg has a Margulis number of 3, and, symmetrically, Margulis has a Furstenberg number of 3. The path between them is not unique:

Hillel Furstenberg 合著者 维塔利·贝尔格森 MR1417769号
维塔利·贝尔格森 合著者 Manfred Leopold Einsiedler MR3430267
Manfred Leopold Einsiedler 合著者 Grigoriĭ Aleksandrovich Margulis MR2507639

Hillel Furstenberg

根据Mathematics Genealogy Project, Furstenberg has 20 students and 171 descendants so far. He was, himself, a student of萨洛蒙·博赫纳at Princeton. In MathSciNet, Furstenberg has67种出版物3,460 citations。He has17位合著者, the most frequent of which are伊扎克·卡兹内尔森本杰明·魏斯

Furstenberg’s most cited work in MathSciNet is his book based on his Porter Lectures at Rice University in 1978, published as

MR0603625
Furstenberg, H.
遍历理论和组合数论中的递推。
M. B.搬运工讲座。普林斯顿大学出版社,新泽西州普林斯顿。,1981年。xi+203 pp. ISBN: 0-691-08269-3

His most cited paper is

MR0213508
Furstenberg, Harry
遍历理论中的不相交性、极小集和丢番图逼近中的一个问题。
数学。Systems Theory11967 1–49.

Furstenberg gave a series of CBMS Lectures at Kent State University in 2011, which were published as

MR3235463
弗斯滕贝格,希勒尔
Ergodic theory and fractal geometry.
CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 120.188bet会员美国数学学会,普罗维登斯,RI,2014. x + 69 pp。ISBN:978-1-4704-1034-6

My favorite paper by Furstenberg is

MR0068566.
Furstenberg, Harry
关于素数的无穷大。
Amer. Math. Monthly62.(1955),35.3.

在MathSciNet中没有评论,但是我们所能说的要比这篇文章长,这篇文章是用拓扑学证明素数无穷大的一段话!


Grigoriĭ Margulis

根据Mathematics Genealogy Project, Margulis has 19 students and 56 descendants so far. He was a student ofYakov Sinaĭ, another winner of the Abel Prize. In MathSciNet, Margulis has113 publications3,740 citations。He has48位合著者, the most frequent of which has been德米特里·克林博克。Margulis is famous for various things, the first of which may be his proof of the Oppenheim conjecture:

MR0882782型
马古利斯,格雷戈里·阿列克桑德罗维奇(2-AOS-IT)
Formes QuadratriquesIndéfinieset of Flots Unipotents Sur Les培养Homogènes。(French summary)[Indefinite quadratic forms and unipotent flows on homogeneous spaces]
C、 R.阿卡德。科学院。巴黎Sér.I数学。304(1987),no. 10,249–253.

Margulis’s book

MR1090825号
Margulis,G.A。(RS-AOS-IT)
半单李群的离散子群。
Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete(3)[数学和相关领域的结果(3)],17。施普林格·维拉格,柏林,1991x+388 pp. ISBN: 3-540-12179-X

is a true classic. Besides this book, Margulis’s most cited works in MathSciNet are

MR0939574
Margulis,G.A。
组合格式的显式群论构造及其在扩展器和集中器构造中的应用。(俄语)
Problemy Peredachi Informatsii24(1988),一号,51-60;translation in
Problems Inform. Transmission24(1988),一号,39-46.

MR1652916型
Kleinbock, D. Y.(1-IASP);Margulis,G.A。(1-耶鲁大学)
在歧管上呈上均匀的空间和辅助近似。(英文摘要)
Ann. of Math. (2)148.(1998),一号,339–360.


Hillel Furstenberg工作的一些评论。

MR0603625
Furstenberg, H.
遍历理论和组合数论中的递推。
M. B.搬运工讲座。普林斯顿大学出版社,新泽西州普林斯顿。,1981年。xi+203 pp. ISBN: 0-691-08269-3
28D05(10K10 10L10 54H20)

这本非常可读的书讨论了最近的一些应用,主要根据作者,动态系统和ergodic理论到组合和数量理论。它分为三个部分。在我的第一个题为“在紧凑空间中的复发和均匀复发”的部分中,作者介绍了拓扑动态系统的复发,然后证明了多个Birkhoff复发定理:如果$T\u 1、\c点、T\u l$如果紧度量空间的交换映射到自身,则存在一个点x美元$空间和序列的$ n_r $属于integers tending to infinity such that$\lim{r\rightarrow\infty}T\u i^{n\u r}x=x$for$1\leq i\leq l$. 从这个定理出发,导出了vanderwaerden算术级数定理的多维形式,并给出了它在丢番图不等式中的应用。

第二部分题为“保测度系统中的递推”。在简要介绍测度论遍历理论的相关部分之后,本节将致力于多重递推定理的证明:如果$ t_1,t_2,\ cdots,t_l $是commuting measure-preserving transformations of a finite measure space$(X,B,\mu)$而如果$A\在B中$with$\mu(A)>0$, then$$ \liminf_{N\rightarrow\infty}\frac 1{N}\sum_{n=1}^N\mu(T_1^{-n}A\cap T_2^{-n}A\cap\cdots\cap T_l^{-n}A)>0 $$(因此$\mu(T_1^{-n}A\cap\cdots\cap T_l^{-n}A)>0$对某些人来说$n\geq 1个$)。从这个结果来看,提交人在阳性密度的整数序列中延长了Szemerédi的定理的多维版本。

Part III, called “Dynamics and large sets of integers”, investigates the connections between recurrence in topological dynamics and combinatorial results concerning finite partitions of the integers (e.g., Hindman’s theorem, Rado’s theorem). Here the notion of proximality plays a central role.
在阅读这本书时,审稿人发现,第一个部分发痒他的想象力,让他想要继续,第二部分提供了很多工作并测试了他的技术能力,而最后一部分导致他想象未来的研究可能性。一项出色的工作!

审查Michael Keane

MR0213508
Furstenberg, Harry
遍历理论中的不相交性、极小集和丢番图逼近中的一个问题。
数学。Systems Theory11967 1–49.
28.70 (10.00)

在这种非凡论文中的ergodic理论的方法与俄罗斯学校主要由俄罗斯学校开发的,与数值和群体不变有关的互补。实际上,这里在两个测量保存的变换(过程)和两个连续映射(流量)之间进行了研究的关系是不相交的,是非同构的极端形式。这个概念似乎足够丰富,可以保证相当多的论文,这些文件毫不怀疑本着目前的刺激。除了它包含的新结果之外,本文的一个有趣方面是众多建立定理的完全新颖的演示。本文分为四个部分:(i)不相交的流程;(ii)不相交的流动;(iii)最小集合的性质;(iv)蒸氨酸近似的问题。两个过程$X,Y$据说是不相交的$(X\perp Y)$如果它们是同一过程的同态象(因子)$Z个$, then there is a homomorphism of$Z个$在至$X\次Y$which, when composed with the projections of$X\次Y$$X,Y$,产生给定的同态。(此定义图中的换向至关重要,作为对过程的快速检查X美元$which is isomorphic to$X\X次$将揭示。)等同的定义坚持认为两个BOREL字段的逆图像是独立的。同样定义了两个流的脱节性(但当然没有类似的第二个定义)。如果它们没有非琐碎的共同因素,则两个过程(流量)是共同的。不相交意味着共同合作。定义是给出伯努利进程的定义$ \ scr b $, Pinsker processes$\scr页$(with completely positive entropy), deterministic processes$\scr D$(with zero entropy) without reference to entropy. A particularly interesting class is the class$ \ scr w $新形式的过程,作者的观点structural theorem [Amer. J. Math.85(1963), 477–515;MR0157368], is a measure-theoretic analogue of the class of distal flows. {In this connection the reviewer is a little puzzled by the omission of the condition that$ \ scr w $be closed under inverse limits, for it seems that such a definition would still yield the result “Mixing processes are disjoint from Weyl processes” and would provide yet another proof of L. M. Abramov’s result [Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat.26(1962),513-530;MR014340号; translated in Amer. Math. Soc. Transl. (2)39.(1964),37-56;看到MR0160698.]具有准离散谱的过程熵为零。}不同类别之间建立了不相交关系,但M.S.Pinsker的结果[Dokl。阿卡德。诺克SSSR133(1960), 1025–1026; translated as Soviet Math. Dokl.1(1960), 937–938;MR0152628号]$\scr P\perp\scr D美元$没有证明。实际上没有不相交的两种进程并不是共同的。这是新郎的弱同义形态定理的结果,但很高兴看到一种不依赖于如此深的结果。第一部分结束,讨论了脱节性与过滤问题之间的关系。

In Part II analogues of weak mixing$ \ scr w $遍历性$ \ scr e $被定义为流动。远端流动$\scr D$是those such that$T^{m\u n}x\右箭头z$,$ t ^ {m_n} y \ lightarrow z $imply$x=y$。流动$吨$一组密集的周期点$ t ^ n \(n \ neq 0)$是ergodic,用来表示$\scr F$。主要结果:如果两个流量是不相交的,则一个必须是最小的美元(百万)$;$ \ scr f \ perp \ scr m $;$\scr W\次\scr M\子集\scr E$;$ \ scr w \ perp \ scr d \ cap \ scr m $
Part III is devoted to an analysis of the smallness of minimal sets for endomorphisms of compact abelian groups, with special emphasis on the circle group and the endomorphism$Tz=z^n\ (n\neq 0)$。事实上,这种基因术是一个$\scr F$因此,每个最小集都是“受限的”,因此不能作为群的基础。如果$A$is a$吨$圆的不变(闭)子集,然后是圆的拓扑熵$吨$限于$A$is the Hausdorff dimension of$A$乘以$ \ log n $。{A reference to P. Billingsley [e.g.,Ergodic theory and information,Wiley,纽约,1965;MR0192027]其他作者在这里也很合适

An example of a minimal set with positive topological entropy is given (cf. F. Hahn and Y. Katznelson [Trans. Amer. Math. Soc.126(1967), 335–360;MR0207959为了锐利的结果)。最后一部分IV的主要结果说,如果$\Sigma$是整数的非空(乘)半群,如果$\alpha$是不理智的$\{n\alpha\ \text{mod}\,1\colon n\in\Sigma\}$在单位间隔内是稠密的。

审查W、 招架

MR0498471
Furstenberg, Harry
对角测度的遍历性与算术级数的Szemerédi定理。
J、 分析数学。31.(1977),204–256.
10L10(10K10 28A65)

这篇文章是关于阳极表面的说明:是的$(X、\scr B、\mu\、T)$Est联合国SystèmeMaviciqueet si$B\in\scr B$埃斯特$\text{mesure}>0$,倾注全部$k$il existe un entier$n$tel que$\mu(B\cap T^nB\cap\cdots\cap T^{(k-1)n}B)\geq 0$. 表示最相关的变换$吨$类型mélangé(弱混合)。这是一个很好的例子。这是一个发展技术的机会,而不是一个应用的机会。特别是(i)这座建筑的套房是一个动态的系统,它贯穿于整个系统的各个部分,是一个动态的系统,它的基本结构是一个充满活力的系统,它是一个充满活力的系统。基本原则是组成部分(Donne par La série distale)不包括商业和团体契约,(ii)组成部分是系统动态过程中度量不变的遍历过程,是系统动态过程的最终结果,是度量过程的概念商的条件:在测量产品的测量中,测量的结果是一致的。

Ces quelques indications ne sauraient rendre compte de toute la richesse de cet article dont la lecture s’impose tout d’abord pour les résultats démontrés mais plus encore pour les moyens d’analyse mis en oeuvre.

审查François Aribaud


一些评论GrigorićMargulis的工作。

MR1090825号
Margulis,G.A。(RS-AOS-IT)
半单李群的离散子群。
Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete(3)[数学和相关领域的结果(3)],17。施普林格·维拉格,柏林,1991x+388 pp。ISBN:3-540-12179-x
22E40 (20Hxx 22-02 22D40)

1972年,当M. S. Raghunathan的书李群的离散子群appeared [Springer, New York, 1972;MR0507234号], the theory of lattices (i.e. discrete subgroups of finite covolume) in nilpotent and solvable Lie groups was pretty well understood (most of the important results being due to A. I. Malʹtsev, G. D. Mostow, H.-C. Wang and L. Auslander). Thanks to the work of H. Minkowski, C. L. Siegel, A. Borel and Harish-Chandra, many important aspects of arithmetic subgroups of arbitrary groups were also well understood: Godement’s compactness criterion had been proved and a nice fundamental domain for such lattices had been constructed by Borel and Harish-Chandra and then an intrinsic one by Borel. However, the study of arbitrary lattices in semisimple groups had just begun with the rigidity results of A. Selberg and A. Weil. The next important development in the area was the proof by D. Kazhdan and the author of Siegel’s hypothesis which says that given a real semisimple Lie group$ g $和a fixed Haar measure on it, there is a constant$ c> 0 $对于给定的Haar测度,任意格的体积$ g $至少是$c$以及Selberg的猜想,该猜想断言实线性半单李群中的非紧格包含一个非平凡的单幂元。Raghunathan的书对上述结果进行了优雅的处理,除了在任意半单群中构造算术子群的基本域。后者在博雷尔的书中有描述简介AUX Groupesarithmétiques[赫尔曼,巴黎,1969年;MR0244260]。

Since the appearance of Raghunathan’s book, there have been several very profound developments in the theory of lattices in semisimple groups and most of these developments are due to the author of the book under review. Among these are the proof of super-rigidity and美元$-arithmeticity of irreducible lattice in any group of the form$G=\prod^n_{i=1}G_i$, where$ g_i $is the group of rational points of a semisimple algebraic group$ g_i $定义在局部紧凑的字段上千美元$$\sum k\u i-{\rm rank}\,G\u i\geq 2$,以及在这样一个晶格中任何非中心正常亚组指数的有限性证明$ g $. 作者给自己定下了一个任务,就是在这本书中对这些结果作一个完整的、合理的、独立的描述。他出色地完成了任务。在R.J.Zimmer的一篇专著中,还证明了实半单李群格的超刚性、算术性和非中心正规子群的结果[Ergodic theory and semisimple groups, Birkhäuser, Basel, 1984;MR0776417号]。但是,在本书中,这些结果被证明在最自然的一般环境中,唯一的例外是格子算法的证明,作者假设在情况下千美元$是积极的特征,$ g_i $是“可接受的”。T、 N.Venkataramana将作者的证明改编为任意特征,给出了一个算术性的证明,没有任何限制条件$ g_i $. 这一证据为时已晚,无法纳入书中。

本书包括关于密度和遍历性定理的一章,其中包含博尔尔密度定理的各种概括,强大的近似性和Mautner的引理。还有一个致力于Kazhdan的财产(T)的章节,该账户提供了一个完整的证明,以及与财产(T)的群体的结果。这本书的两章致力于对等尺寸可测量地图的存在定理,包括由于H.Furstenberg的这种方向上的基本定理。这些存在定理对于超级刚性证明至关重要。
这本书经过精心编写,审稿人没有发现证明中的任何差距或错误。

审查戈帕尔·普拉萨德

MR1652916型
Kleinbock, D. Y.(1-IASP);Margulis,G.A。(1-耶鲁大学)
在歧管上呈上均匀的空间和辅助近似。(英文摘要)
Ann. of Math. (2)148.(1998),一号,339–360.
11J83 (22E40)

特色评论。
这篇重要的论文解决了Baker和Sprindzhuk在20世纪70年代提出的流形上的丢番图逼近理论中的猜想${\mathbf x}\in\mathbf R^n$$\|\mathbf x\|=\max_{1\le i\le n} |x_i|, \Pi(\mathbf x)=\prod_{i=1}^n |x_i|$。One says that a vector$\mathbf x\in\mathbf R^n$非常接近(VWA),如果$\epsilon>0$无限很多$q\英寸\Z$美元\ mathbf p \ \ mathbf Z ^ n美元这样$\| q\mathbf x+\mathbf p\|^n\cdot | q | \le | q | ^{-\epsilon}$. 类似地,向量$\mathbf x\in\mathbf R^n$是非常好的乘法近似(VWMA)如果对于某些$\epsilon>0$无限很多$q\英寸\Z$美元\ mathbf p \ \ mathbf Z ^ n美元这样$\Pi(q\mathbf x+\mathbf p)\cdot |q|\le|q|^{-\epsilon}$

很明显,向量是VWMA。我们还可以证明,几乎所有$\mathbf x\in\mathbf R^n$is not VWMA. A much more difficult problem arises if one restricts one’s attention to a proper submanifold$M\subset\mathbf R^n$。在20世纪30年代,Mahler劝告几乎所有点曲线$M_0=\{(t,t^2,\cdots,t^n), t\in\mathbf R\}\subset\mathbf R^n$不是VWA。这是由V. G. Sprindzhuk [Dokl。Akad。Nauk SSSR.155.(1964年),54-56;MR0158868]。后来,Sprindzhuk在[Uspekhi Mat。诅35.(1980),没有。4(214),3-68,248;MR0586190]召集以下内容。让$f\u 1、\c点、f\n$实解析函数$\mathbf x\in U$,美元$being a domain in$\mathbf R^d$,与$1$是线性独立的$\mathbf R$。Then almost all points of$M$(in the sense of the natural measure on$M$) are not VWA.

The case$n=2$猜想由W.M. Schmidt [Monatsh。数学。68.(1964), 154–166;MR0171753]最近,V.V.Beresnevich和V.I.Bernik[Acta Arith。75(1996), no. 3, 219–233;MR1387861]证明了这一点$n=3$

A stronger conjecture (also formulated by Sprindzhuk) states that almost all points of$M$不是vwma。它甚至没有被证明是曲线$M_0$如上所述(这个特殊的例子被称为贝克猜想),除了这个例子$n=2$[V. G. Sprindzhuk,Metric theory of Diophantine approximations, Translated from the Russian and edited by Richard A. Silverman, Winston, Washington, D.C., 1979;MR0548467]。

本文证明了一个很一般的结果,它解决了Sprindzhuk和Baker的两个猜想。让$M=\{\mathbf f(\mathbf x)\colon\\mathbf x\in U\}$, where美元$is open in$\mathbf R^d$$\mathbf f=(f_1,\cdots, f_n)$is a$C^m$embedding of美元$进入之内$\R^n$。一个人说一个点$\mathbf y=\mathbf(\mathbf x)$属于the manifold$M$对某些人来说是非退化的$ l \ le m $the space$\R^n$is spanned by partial derivatives of$\mathf美元$at$\mathbf x$订单到$l$(这是一个不符合任何适当仿射超平面的无限版本)。现在假设几乎每个点$M$是非退化的。然后几乎所有的点$M$不是vwma。

证明利用了空间上齐次作用的遍历理论$\scr L_{n+1}={\rm SL}_{n+1}(\mathbf R)/{\rm SL}_{n+1}(\mathbf Z)$(which is just the space of unimodular lattices in$\mathbf R^{n+1}$)。更准确地说,给予$\mathbf y\in\mathbf R^n$$\Lambda{\bf y}=\left(\begin{array}{ccc}1&\mathbf y^{\top}\\0&I\u n\end{array}\right)\mathbf Z^{n+1}$是中的幺模格$\mathbf R^{n+1}$。For$\mathbf t=(t\u 1,\cdots,t\u n),t\u i\ge 0$,定义在{\rm SL}{n+1}(\mathbf R)中,$t=\sum{i=1}^n t{text{and}g\mathbf t={\rm diag}(e^t,e^{-t{u 1},\cdots,e^{-t{n})$Finally, one introduces a function$\delta$$ \ scr l_ {n + 1} $by$\delta(\Lambda)=\inf{\mathbf v\in\Lambda-\{0\}}\\v\|$

对任何人来说,证明这一点都很容易$\mathbf y\in\mathbf R^{n}$哪个是vwma存在$\gamma>0$无限多$\mathbf t\in\mathbf Z+^n$这样$\delta(g\mathbf t\Lambda\mathbf y)\le e^{-\gamma t}$. 因此,根据Borel-Cantelli的观点,足以证明对于任何非退化点$\mathbf y_0=\mathbf f(\mathbf x_0)\in M$有一个街区$B$属于$\mathbf x \U 0\单位$这样given$\gamma>0$, one has$\sum_{\mathbf t\in\mathbf Z^n_+}|E_\mathbf t|<\infty$, where$E_\mathbf t=\{\mathbf x\in B\colon \delta(g_\mathbf t\Lambda_{\mathbf f(\mathbf x)})\le e^{-\gamma t}\}$$|\cdot|$代表勒贝格度量。

这是下列非平凡估计的直接推论:(1)$|E_\mathbf t|\le Ce^{-\gamma t/{dl}}|B|$为了一些球$B$以其为中心$\mathbf x_0$,一些$ c> 0 $和all$\mathbf t\in\mathbf Z+^n$足够大的$吨$(这里$ l \ le m $从非不开的病情中取出$\mathbf y_0$)。通过精炼早期重要结果的证据来获得估计,因为在格子的空间上的单极流动的流动的不及而然。

也就是说,让$\{u\u x,x\in\mathbf R\}\subset{\rm SL}\u k(\mathbf R)$be a one-parameter subgroup all of whose entries are polynomials inx美元$(这样的子群称为单幂)。马古利斯的显著成果Lie groups and their representations (Proc. Summer School, Bolyai, János Math. Soc., Budapest, 1971), 365–370, Halsted, New York, 1975;MR0470140号]没有轨道的行动$u\R\n方法$$ \ scr l_ {k} $走向无限。通过马勒的标准,这相当于说出任何$\Lambda\in\scr L_{k}$, one has$\delta(u\u x\Lambda)\not\到0$as$x\至\infty$。Later, S. G. Dani [Ergodic Theory Dynam. Systems6(1986), no. 2, 167–182;MR0857195] proved more: For any$ c> 0 $和any$\Lambda\in\scr L_{k}$存在$\epsilon>0$这样given any unipotent subgroup$u\mathbf R\subset{\rm SL}\u k(\mathbf R)$, one has (2)$|\{x\in[0,T]\colon\delta(u|x\Lambda)<\epsilon\}\le cT$N.A. Shah [Duke Math]发现了类似的估计。j。75(1994),没有。3,711-732;MR1291701]对于任何多项式地图$\mathbf R^d\to {\rm SL}_k(\mathbf R)$代替多项式同性恋$u\colon \mathbf R\to {\rm SL}_k(\mathbf R)$

在这里,作者建立了定量关系$c$$\epsilon$in (2), thus sharpening the result of Dani: it turns out that$c=c_1(k)\epsilon^{1/k^2}$。The proof uses the notion of$(C,\alpha)$-good functions introduced by A. Eskin, S. Mozes and Shah [Geom. Funct. Anal.7(1997),第1期,48-80页;MR1437473号], and the fact that polynomials of degree at most$k$$(C_k,1/k)$好。以类似的方式获得(1)使用以下事实,即在非评价点的邻域,线性组合1美元,f\u 1,\c点,f\u n$$(C,1/dl)$-很好。

Finally, the authors note that the methods of their paper can help in solving related problems on Diophantine approximations in the$p$-adic case.

审查亚历山大·斯塔科夫

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About Edward Dunne

我是《数学评论》的执行编辑。以前,我为AMS图书项目做了17年的编辑。在为AMS工作之前,我曾在莱斯大学、牛津大学和俄克拉荷马州立大学从事学术工作。1990-91年,我在海德堡的斯普林格公司工作。我的博士学位是哈佛大学的。我在圣克拉拉大学接受了世界一流的文科教育。
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