$ \ pi $的计算数字

PI的500多位瑞士FachhochschuleGraubünden的研究人员已经宣布已经计算出$ \ pi $的数字数量的最新记录。他们使用超级计算机计算了大约62.8万亿个数字。

这项工作是在ZentrumFür数据分析,可视化和仿真(DAVIS)上完成的。博士教授HeikoRölke是戴维斯的领袖。托马斯·凯勒是监督计算的项目负责人。该计算在超级计算机上花费了108天和9小时。新唱片是本周的新闻。他们机构的公告是这里(在德国)。这是一个简短的NPR(音频)故事流行力学有一个很好文章,并就他们的方法以及计算的含义联系了凯勒。戴维斯集团计算的关键要素是Chudnovsky算法,其他团队计算$ \ pi $的数字已使用。

计算$ \ pi $的数字有一个悠久的传统。甚至还有一个MSC2020此类计算家庭的课程:11y60评估数理论常数。很久以前,此类计算是手工完成的。维基百科有一个很好的页面计算,以及一些相关的事实。埃及,巴比伦和中国的早期数学家通常是$ \ pi $的近似值,通常是分数。作为一个形式化的系统,持续的分数提供了一种可访问的方法,可以生成对不合理数字(包括$ \ pi $)的良好合理近似值。$ \ pi $的持续分数中的前几个收敛是$ \ frac {3} {1} $,$ \ frac {22} {7} $,$ \ frac {333} {106} {106} $,$ \ frac,$ \ frac{355} {113} $。序列A001203在里面OEIS在标准的持续分数速记中,是$ \ pi $的持续分数表示。一旦我们切换到小数系统,数字就变成了目标。各种数学家,一些未知的人,一些已知的,有些著名的人在计算$ \ pi $的数字计算上。现在,当然,我们依靠计算机,但是我们仍然需要良好的算法。

作为该领域的非专家,我发现特别有趣的结果是

MR1415794
贝利,大卫(1-NASA9);Borwein,彼得(3-SFR);西蒙·普洛夫(Plouffe)(3-SFR)
关于各种多组轴向常数的快速计算。(英语摘要)
数学。comp。66(1997),否。218,903–913。
11y60

这提供了一种跳过中间数字并计算$ \ pi $的十六进制数字的方法 - 对于某些其他数字理论常数也是如此。$ n $可以按照您的意愿尽量大$ \ pi $。

对于新闻报道,记者通常会问“这有什么好处?”显而易见的答案是重言式答案,但他们正在寻找以外的数字理论和外部数学的应用。在数学内部,$ \ pi $和其他数学常数的计算数字方法与数学独立领域的发展有关。一个例子是前面提到的持续分数的理论。一些用于计算$ \ pi $和其他数字理论常数的有效公式(或系列)与模块化形式。戴维·贝利(David Bailey),彼得·博威(Peter Borwein),西蒙·普洛夫(Simon Plouffe)的作品涉及特殊聚集体的评估。彼得·博威(Peter Borwein)和乔纳森·博韦(Jonathan Borwein)写了一本好书,讲述了$ \ pi $与代数几何平均值(AGM)之间的联系。

MR0877728
Borwein,Jonathan M.(3-DLHS);Borwein,Peter B.(3-DLHS)
PI和AGM。
分析数理论和计算复杂性的研究。加拿大数学学会系列专着和高级文本。Wiley Interscience出版物。John Wiley&Sons,Inc。,纽约,1987年。XVI+414页ISBN:0-471-83138-7
11y60((68Q30

进行标准计算的疯狂高级版本也是测试算法和硬件的好方法。凯勒在流行力学文章说:“对我们来说,记录是为未来计算任务调整系统的副产品。”这个想法的一个较旧的例子是一个无意的测试,不是计算$ \ pi $的数字,而是托马斯很好计算素数,双素数等导致了在Intel Pentium Chip Design中发现硬件缺陷1994年。

来自MathScinet的一些评论


MR1415794
贝利,大卫(1-NASA9);Borwein,彼得(3-SFR);西蒙·普洛夫(Plouffe)(3-SFR)
关于各种多组轴向常数的快速计算。(英语摘要)
数学。comp。66(1997),否。218,903–913。
11y60

作者给出了计算$ n {\ rm th} $数字(本质上是)线性时间和对数空间中某些先验常数的数字的算法。考虑的复杂性类用$ {\ rm sc}^*$表示,这意味着$ {\ rm space} = \ log^{o(1)}(n)$和$ {\ rm time} = o(n\ log^{o(1)}(n))$。作为一个典型的示例,作者显示了如何在几个小时内使用单个精度计算$ \ log(2)$的十亿个二进制数字。

这种算法的存在,一开始似乎很令人惊讶,它基于以下想法。假设可以将常数$ c $表示为$ c = \ sum_ {k = 0}^\ infty1/(b^{ck} q(k))$,其中$ b \ ge2 $和$ c $是正整数,$ q $是一个多项式,具有整数系数$(q(k)\ ne0)$。该任务是计算$ n {\ rm th} $ b $中的$ c $的数字。首先观察到足以计算$ b^nc $ modulo 1。
$$
b^nc \ bmod1 = \ sum_ {k = 0}^\ infty \ frac {b^{n-ck}}} {q(k)} \ bmod1 = \ \
\ sum_ {k = 0}^{[n/c]} \ frac {b^{n-ck} \ bmod q(k)} {q(k)} \ bmod1+sum_ {k = 1+[n/c]}}^\ infty \ frac {b^{n-ck}}} {q(k)} \ bmod1。
$$
在第一个总和的每个学期中,使用众所周知的快速凸起算法模块计算$ b^{n-ck} \ bmod q(k)$。整数$ q(k)$。使用普通的浮点算术执行$ q(k)$的划分和求和。关于无限总和,请注意分子中的指数为负。因此,可以再次使用浮点算术来以足够的精度计算其值。最终结果,即0到1之间的分数,然后将其转换为所需的基本$ b $。通过某些次要修改,该方案可以扩展到表单$ c = \ sum_ {k = 0}^\ infty p(k)/(b^{ck} q(k))$的数字,其中$ p $是具有整数系数的多项式。

现在碰巧的是,大量有趣的先验是所描述的形式。许多公式都取决于各种多种聚类身份。因此,定义$ m {\ rm th} $ polylogarithm $ l_m $ by $ l_m(z)= \ sum_ {j = 1}^\ infty z^j/j^m,\ | z | <1 $。然后,例如,$ - \ log(1-2^{ - n})= l_1(1/2^n)$,或$ \ pi^2 = 36l_2(\ frac12)-36l_2(\ frac14)-12L_2(\ frac18)+6L_2(\ frac1 {64})$。但是,最引人注目的身份之一是$$ \ pi = \ sum_ {j = 0}^\ infty \ frac1 {16^j} \ bigG(\ frac4 {8j+1} - \ frac2 {8J+4}- \ frac1 {8j+5} - \ frac1 {8j+6} \ bigg)。$$使用这些公式,很容易证明$ - \ log(1-2^{ - n}),\ \ \ pi $或$ \ pi^2 $在$ {\ rm sc}^*$中。作者通过计算$ \ pi的十亿个十亿个十六进制数字,以及$ \ pi^2 $和$ \ log(2)$的十亿个十亿个十六进制数字来展示他们的技术。

审查安德烈亚斯·古斯曼(Andreas Guthmann)


MR0877728
Borwein,Jonathan M.(3-DLHS);Borwein,Peter B.(3-DLHS)
PI和AGM。
分析数理论和计算复杂性的研究。加拿大数学学会系列专着和高级文本。Wiley Interscience出版物。约翰·威利(John Wiley&Sons,Inc。),纽约,1987。xvi+414页ISBN:0-471-83138-7
11Y60(68Q30)

这本书揭示了代数几何平均迭代与计算之间的密切关系$ \ pi $

代数几何平均迭代的主题导致讨论椭圆形积分和功能,theta函数和模块化函数的理论。计算$ \ pi $导致计算代数函数,基本函数和常数的领域$ \ pi $$ e $。计算$ \ pi $随着现代计算机的出现,狂热地发狂。简而言之,1706年的前100位数字$ \ pi $被计算。到1844年,已知前205位数字。1947年的第一个808位数字$ \ pi $使用桌子计算器计算。

然后,现代计算机出现在现场。现在,已知的第一位数字迅速变化,该表显示了部分说明:

表A: 已知数量
$ \ pi $的第一位数字
所需的时间
计算
1949年 2 037 70小时
1961年 100 000 9小时
1973年 1 000 000 24小时
1983 16 000 000 30小时
1986 29 360 000 28小时
1986 $ 2^{25} $ = 33 554 432 96分钟

这些数字揭示了,表B显示了计算速度在很短的时间内增加了多少。

表B: 近似
数字/小时
1949年 29.1
1961年 11 111.1
1973年 41 666.7
1983 533 333.3
1986 1 048 571.4
1986 20 971 520.0

审查H.伦敦


MR1021452
Chudnovsky,D。V.(1-CLMB);Chudnovsky,G。V.(1-CLMB)
经典常数的计算。
Proc。纳特。学院科学。美国。86(1989),不。21,,8178–8182。
11Y60(11-04 11Y35 33A99)

在这篇非常有趣的论文中,作者对数学和算法发表了许多有价值的评论,与他们的计算有关$ \ pi $多达十亿位数字。他们提供了简短的计算历史$ \ pi $以及关于高几何函数值评估的一些评论。他们解释了与复杂乘法的椭圆形曲线的Legendre关系如何产生Ramanujan的系列,该系列现在用于计算$ \ pi $。最后,对计算机实现进行了一些评论。

审查F. Beukers


MR1222488
Borwein,J.M。(3-WTRL-B);Borwein,P。B.(3-DLHS)
班级第三级Ramanujan类型系列$ 1/\ pi $(英语摘要)
计算复杂分析。
J. Comput。应用。数学。46(1993),不。1-2,281–290。
11Y60(11R11)

S. Ramanujan [夸脱。J. Math。45(1914),350–372;jbuch45,186]表现出某些系列,这些系列非常快速地收敛到$ 1/\ pi $,形式$ \ sum_ {n \ geq 0}( - 1)^n((a+nb)/c^{3(n+1/2)})((6n)!/(3n)!$。事实证明,每个无方体整数$ D $, 数字$ a $,,,,$ b $,,,,$ c $由场地确定$ \ mathbf {q}(\ sqrt {-d})$,实际上是$ h $学位代数整数,那里$ h $是该字段的班级。Chudnovskys使用了这样的系列(与$ h(-427)= 2 $),每学期增加25位数字,以计算$ \ pi $达到创纪录的20亿位数。在此,Borweins通过找到一个榜样与Chudnovskys继续与Chudnovskys的兄弟般的竞争$ h(-1555)= 4 $每学期增加约50位。但是,他们必须处理四分之一而不是二次非理性。

他们还明确给出了近似的系列$ 1/\ pi $对应于每个假想的二次字段的班级编号$ 3 $(尽管令人惊讶的是,他们没有提供任何参考来告诉我们他们如何知道自己有完整的列表)。

{对于包含本文的集合,请参阅MR1222468。}

审查安德鲁·格兰维尔(Andrew Granville)

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关于爱德华·邓恩

我是数学评论的执行编辑。以前,我是AMS书籍计划的编辑,已有17年了。在为AMS工作之前,我从事莱斯大学,牛津大学和俄克拉荷马州立大学的学术生涯。在1990 - 91年,我曾在海德堡的Springer-Verlag工作。我的博士学位来自哈佛。我在圣塔克拉拉大学(Santa Clara University)的本科生接受了世界一流的文科教育。
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