在导航合作

无论你处于职业生涯的哪个阶段,合作对于建立数学社区的关系和推进你的研究都是至关重要的。

在这次谈话中,切尔西沃尔顿博士(莱斯大学),“通过分享个人故事,证明在合作研究项目中工作的一些具体技巧和指导方针,拉开了帷幕,向我们展示了引导合作者的过程不是魔法。

这个演讲是一个惊人的资源,特别是对研究生和早期职业数学家来说。我认为这个报告是任何新合作的开始都需要听/读的。

图1所示。“你好,想一起做数学题吗?”

充满了搞笑的动物图片,真的很有人情味。沃尔顿给了我们一个完美而直接的指导。在她的演讲中,她讨论了数学协作的不同阶段和相关的关键词。

在合作的引入阶段,关键字是“访问”,它要求正在做数学研究吗?下一个阶段,开始阶段,关键字是做梦。理想情况下,您应该根据图2中的图表选择主题。

图2:采摘研究主题时的考虑因素。

有些人首先选择他们的团队,然后是他们的项目,反之亦然(以及之间的一切)。毕竟没有错误的方式,这是你的梦想。

在这里,也是与合作者解决物流问题的理想时机。例如,会议的主要方式是什么?你们多久见一次面?储存或分享想法的主要方式是什么?作为一个参与许多团体项目的人,这是确保每个人都在同一页上,并以明确具体的方式取得进展的关键步骤。

接下来的几个阶段是计算(关键字:优先级)、写作阶段(关键字:势头)和总结阶段(关键字:润色)。在每个阶段中可以有许多角色(参见图3),但重要的是要分担负载。沃尔顿博士给初级研究人员的一个很好的建议是“设定进度并完成项目,即使这意味着重新调整目标”。

图3。协作中涉及的许多角色中的一些。

图3。协作中涉及的许多角色中的一些。

但是,协作中最重要(也容易被忽视)的一个方面是反思。沃尔顿博士建议问问自己,你对这个产品满意吗?你的贡献有价值吗?因为归根结底,任何合作都是建立一种关系,而且“当你觉得自己没有价值时,你就不能做好数学”。

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在“AMS教育委员会小组当前的问题:我们能做些什么来支持数学专业和研究生在大流行时”

1月7日星期四,我参加了这部小组的重要组成部分,Viveka Brown(Spelman College),Tasha Inniss(Spelman College)和Pamela Estephania Harris(威廉姆斯学院),由Katherine Stevenson(加利福尼亚州立大学Northridge)进行了主持包括哈里斯促进的学生小组。我不得不尽早离开会议才能到达另一个会议,但我发现了我在我能够参加信息的一部分听到的一切。如果您没有达到现场活动,我建议在它提供时观看录音。我会在这里分享一些亮点。

Inniss谈到由美国国家科学院主办的多届研讨会系列专注于通过镜头高等教育内观看大流行应对集中在强度和弹性,以及考虑过这个问题可以用来塑造后的经验教训流行世界。她提到,学生们都表示他们是否将能够完成学业的时间在网上设置的担忧。她还讨论了一些,目前有机会做的事情在高等教育不同的方式,如评估和拆除全身种族主义影响的学生。

她说,在这些讨论中,“公平和获取一再出现”。有必要公平地使用wifi、电脑/平板电脑等设备,但也需要辅导和同伴网络。这些讨论的其他主题包括建立积极的社区和课堂文化的重要性以及远程学习的一些积极方面。在某些情况下,这包括更全面地考虑学生和研究人员的转变,以及转向“更友善的研究文化”。

布朗谈到了在虚拟教室中建立社区。她给出了社区和社区建设的定义。她讨论了虚拟教学中社区建设的建议。这些建议来自多个研究。其中一些建议包括“尽早和经常”接触学生,与学生一起讨论和解决问题,限制讲课时间,增加讨论时间等等。

布朗还谈到了集体成长心态的概念,并分享了一些在她的虚拟课堂中建立社区和创造积极氛围的策略。她说,当她开始让学生提前进入Zoom教室时,在某节课上,一群学生开始提前进入教室,一起解决问题、聊天、吃饭、分享屏幕等。她还发现休息室和破冰活动也很有帮助。她喜欢的一些破冰活动包括“玫瑰/荆棘”(学生可以分享一些积极的东西(一朵玫瑰),也可以分享一些消极的东西(一根刺))、“共同之处”(In Common)和应用程序(学生可以简要描述他们手机或平板电脑上最有趣的应用程序)。她还提到万事皆已经在她的教室一个有用的工具。

该小组由哈里斯主持,成员包括露西·马丁内斯(Stockton University的大四本科生)、贝基·唐(Duke University的博士生)和乔万尼·马尔克斯(UC Santa Cruz的博士生)。

马丁内斯提到,当她在疫情期间搬回父母的公寓时,她的兄弟姐妹也试图在她同一时间在线学习,这很有挑战性。她说,当她的兄弟姐妹和父母住在同一个公寓时,学习还可以,但她的一些同学很难找到一个地方参加在线课程,不会影响他们的注意力。

Tang作为第三年博士生的主要问题之一是一年的研究生如何应对,以及他们所面临的烦恼。她提到调整研究生院往往已经困难,并试图调整到远程学习可以增加这些挑战。她说,虽然教授有时意识到他们的学生面临的斗争,但他们“可能不会将”它们内化到他们应该的程度。

唐还提到,当杜克大学的秋季假期被取消时,很多学生没有足够的时间休息和锻炼自我。她说,她希望更多的教授能够调整他们的作业时间表,这样学生们就能在那一周休息一会儿。她说,她认识的一位教授就这么做了,学生们真的很关注。

这时,哈里斯插话说:“老师们请注意:即使春假取消了,你们仍然可以根据课堂作业调整时间表。”

马尔克斯指出,许多学生已经回家——包括他——面临一些数量的增加等家庭责任与运输或将帮助照顾兄弟姐妹虽然实际上他们学习,这可能会导致年纪大的学生不得不错过类。他说,虽然很多教授对此表示同情,但这些责任可能会导致安排问题,那些“坚持按时上课”的人应该意识到,这并非总是可能的。他还提到需要为学生提供必要的设备和服务,如平板电脑和咨询服务。

史蒂文森,谁主持的面板,评论(我认为这是在聊天)“我们经常没有意识到,研究生也是教师,应在设备行的前面。”

唐还表示,一些教师预计学生的研究人员将为研究,家庭作业等“维持大流行性生产力”,如果导师启动了关于研究预期和进步的更多对话,则会有所帮助。

马克斯说,他的导师每周都和他开会,虽然这很有帮助,但仍有一些问题在那段时间之外突然出现,这很有挑战性,因为研究生不能直接走进导师的办公室讨论他们可能会被困住的事情。他说,“如果可能的话,时间要灵活一些”,有时即使是10分钟的谈话也很有帮助。当然,小组成员也承认,在这一困难时期,教授们也在经历着自己的挑战。

我希望这篇文章能让你体会到小组讨论的内容,如果你无法观看现场直播,你可以考虑观看录像!

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论“黑人数学家编年史:我们对MAD页面更新的探索”

1月8日,星期五,我参加了加州克莱蒙特波莫纳学院的数学教授Edray Goins的精彩演讲。虽然我以前没有亲自和Goins交谈过,但我读过很多媒体上引用他的文章,包括纽约时报“对于一个黑色的数学家,它是”只有一个“的东西A.配置文件发表于学生科学新闻.我也参观了“非洲侨民的数学家”但他并没有意识到在创建原始站点和最近更新站点上花费了多少精力。

这些被称为“MAD页面”的页面最初是由纽约州立大学布法罗分校(SUNY Buffalo)的斯科特·威廉姆斯(Scott Williams)创建的,但戈因斯在谈话中说,威廉姆斯退休后,页面就蔫了。自2015年以来,Goins一直在与合作者合作更新页面。

在谈话中,Goins讨论了第一批获得数学博士学位的非裔美国人的历史。Goins在JMM会议平台上发布了他演讲的幻灯片(要访问这些幻灯片,只需进入他演讲的页面并在“下载”下查看)。在这些幻灯片中,他描述了一些关于数学家的内容。如果你还没有听过这个演讲,我建议等到有录音的时候再听。

戈因斯还讨论数学家全国协会是如何形成的,更多的是在“波莫纳研究数学的经验,” 2020年的NSF REU是有8人共享。这些与会者帮助更新MAD网页数据库,写黑数学家的传记和参与虚拟研讨会(所有这一切,除了2的是YouTube上的)。戈因斯还谈到了努力创造一个口述历史,其在规定的至少一个观众,将是一个非常艰巨的任务,但也是一个巨大的资产,以数学和历史的社区。

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研究COVID-19的接触模式

我参加了今天的数学生物学特别会议,听了辛辛那提大学的肖燕玉的演讲。她谈到了她的小组如何模拟安大略的接触模式,并利用它们来研究过去一年COVID-19的传播。

预测传染病扩散的标准模型是称为SIR模型的基于代理的模型。该首字母缩略词代表易感,感染和恢复,参考三种类型的药剂。感染剂将保持一段时间,直到它们恢复(或死)并变得免疫,同时将疾病传播到易感剂。由此,您可以派生一个微分方程系统,描述群体中易感,感染和恢复的人的数量随着时间的推移而发展。要获取详细信息,您需要有关传染性的数据如何以及彼此接触的频率。

为COVID-19等真实情况获取数据说起来容易做起来难。人们有很多不同的互动方式,要确定一个人感染另一个人的可能性需要分析所有的复杂性。这些人在杂货店相遇的可能性有多大?在那里感染的可能性有多大?如果他们在后院烧烤时相遇呢?

为了回答这些问题,萧解释说,研究人员蒸馏出不同的环境,其中人们将彼此相遇到四个主要群体:家庭,工作场所,学校和社区。他们还将人口分为年龄组。对于每个设置,它们可以创建年龄组的“联系矩阵”。因此,例如,在工作场所矩阵中,条目(i,j)表示年龄组的工作场所联系人的数量。我想象力这种方法尤其是在研究像Covid-19这样的疾病时,他的行为似乎与年龄非常繁重。

肖研究中使用的参考接触矩阵。

肖和她的同事使用2006年的调查数据创建基准接触矩阵,并使用人口统计调整来估计2020年安大略省的正确矩阵。当安大略经历它的各种关闭和重新开放阶段时,他们相应地模拟了整体接触矩阵。例如:在任何企业或学校被关闭或建议采取物理距离措施之前,总体接触矩阵仅仅是每个环境下矩阵的总和,C = C(家庭)+ C(工作场所)+ C(社区)+ C(学校)。但一旦学校停课,C就会以另一种形式出现:C = (1 + p) C(家庭)+ C(工作场所)+ (1 + q) C(社区)。这个公式反映了一个事实,即不再有任何学校联系。但是,随着孩子和教师在家里或在邻居家待的时间增多,家庭和社区的联系将会增加。

基于这些数据,Xiao可以实现SIR模型来估计安大略省的累计感染人数,并找到最适合数据的参数。这个模型可以用来评估重新开放的计划。随着疫苗的出现,它可能被用来分析分销策略。

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反种族主义数学:谁,什么,何时,何地,为什么,怎么样?

埃里卡博士格雷厄姆是布林茅尔学院的数学助理教授。她的研究领域是数学生物学,并应用于内分泌学和生理学。作为。的共同创造者之一数学天才和黑人格雷厄姆还致力于解决数学科学中代表性不足的问题。

在她说话的时候,数学中的反种族主义:谁,什么,在哪里,为什么,如何?格雷厄姆博士(Dr. Graham)的“五个w和如何”(Five w and How)是我对数学界的愿景。由于国会山最近发生的事件,白人至上主义文化所造成的影响(和伤害)在媒体上得到了广泛的展示,这是一个特别重要的时刻。正如她在她的摘要中所描述的,

“黑人的命也是命”(Black Lives Matter)运动以及许多类似运动获得了广泛支持,目的是消除植根于我们整个社会结构的种族主义结构。数学学科——和许多高等教育机构一样——也达到了种族主义制度化历史的清算点。我们必须承认,为了实现变革性的、持久的变革,必须进行持续和积极的反种族主义工作,而不是选择这样做。——格雷厄姆博士,摘自她的摘要

正如MAA-SIAM-AMS Hrabowski-Gates-Tapia-McBay会议的组织者Carrie Diaz-Eaton在演讲中所说,这一会议“明确地拥抱了数学科学中的人性”。贯穿始终的主要信息之一是,国家正在考虑黑人的生命在美国的价值,我们被要求批判性地反思这意味着什么,以及我们的角色是什么。

她首先问,当你想到种族主义时,你是怎么看的?你对数学有什么看法?例如防御性,认为只有一种方法是正确的,家长式的,或者客观性的思考,以及安慰权等。

她做了白人至上主义文化与个体之间的区别。这种区别是很有启发我,因为,她说,我们都在促进白人至上主义文化的方式行事。问题就来了,我们该如何应对呢?从反种族主义是什么(是不是)的定义。临别时,提醒我们,反种族主义是一组动作不仅仅是一个想法或政策。

我们被要求拥抱不适,意识到我们的抵抗,并检查我们的防御。这次演讲的目的不是让我们相信反种族主义工作是必要的,也不是给我们一个小时的解决方案。谈话的风格集中在讨论五个W(谁、什么、在哪里、何时、为什么),给出一个让人舒服和让人不舒服的答案。

让我来告诉你们,这些让人舒服的答案是我在数学生涯中经常听到的。将它们与令人不安的答案进行对比,感觉就像释放了真相。很多时候,当我们想到反种族主义工作中的五个W时,我们都不敢直面令人不安的事实。但是,正如格雷厄姆博士所说,想象一下,如果我们以同样的方式看待数学,这个领域会是什么样子?我们必须问自己,我们优先考虑什么,声誉?其他白人至上主义的支持者怎么说?我们是杰出的种族主义者还是杰出的反种族主义者?事实是,我们离成为杰出的反种族主义者还有很长的路要走,但我们必须为这种行为(或缺乏行为)命名,这样我们才能改变它。这也是对我自己和我的行为进行反思和评估的号召,因为要反种族主义,我们就必须同我们自己和其他地方的种族主义作斗争。

“我们需要一个分叉从种族主义移动到反种族主义。”- 格雷厄姆博士

最后,她总结了五个W,以及如何反种族主义,作为她对数学社区的愿景。

人:我们每个人都应该单独和集体。

什么:发挥优势,挑战现状,

:立即并坚持不懈地努力,

地点:在我们各自的机构、组织和网络内开展工作,

原因:为了使数学成为一个反种族主义的领域,

怎样去:彻底、永久地废除数学社区赖以建立的种族主义结构、政策和做法。

在这个演讲的总结中,我不能做到公正,所以我鼓励每个人在分享了录音后都去听一听,因为这是非常值得的。格雷厄姆博士,谢谢你的工作,也谢谢你在JMM与我们分享。

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一个19世纪的数学讨论板

在结束我的第一JMM,我停止了通过数学史的AMS特别会议,听取“的演讲,数学史的新资源:教育时代在线数学问答数据库.”

这是《教育时报》旧版的一页,上面有一栏数学问题。

这是《教育时报》(The Educational Times)上一些数学问题的样本。

从1847年到1923年,教育时间杂志担任了论坛讨论整个英国的教师。读者在数学部分发挥了积极作用。每个问题都包含读者提交的数学问题和读者提交的解决方案,以前的问题。不时,一个问题将包括已经提出但尚未解决的问题清单。总共大约18,000数学题增光的页面教育时间。

在他们的谈话,西卡罗莱纳大学斯隆Despeaux和北卡罗莱纳大学的罗伯特·万三描述了他们和合作者如何创建可搜索的在线数据库提出的问题教育时间和相关的数学问题.问题由数学分支索引,数据库包含贡献者的性别、国籍、职业和教育背景信息。

第一次尝试将问题分类教育时间日期到20世纪50年代,当时一位棕色大学教授和他的学生在纸币上索引了许多问题和解决方案。在20世纪70年代,一个普罗维登斯大学教授出土在那些记者并以数字形式恢复了项目。尽可能的想法是为了创造完整的在线目录,这是她的团队于2016年开始并完成去年的努力。

Despeaux的团队设计的数据库,以作为数学史家的资源,以深入了解数学的发展作为一门学科。这些问题和答案揭示哪些数学家在它们之间的网络有兴趣在主题和提示。像詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特,阿瑟·凯莱,和威廉·金顿·克利福德英国著名数学家力强促成了问题和答案,但这样做的数学爱好者众多。

超过1,300名不同的作者贡献了问题教育时间.有了这个新的数据库,数学历史学家肯定有很多不为人知的故事要探索。

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蓝鲸迁徙模式的数学

蓝鲸是地球上最大的生物,是高度洄游的动物。每年夏天,它们沿着加利福尼亚海岸向北旅行,去觅食磷虾。到了秋天,它们会回到南方的繁殖地,在那里过冬。可悲的是,蓝鲸濒临灭绝,面临着渔具、船只罢工和气候变化的威胁。为了减轻这些威胁,研究人员必须了解影响鲸鱼迁徙模式的因素。

今天,在AMS关于基于agent的动力学和生物自组织的特别会议上,加州大学戴维斯分校的斯蒂芬妮·多德森做了一个关于她的演讲正在进行的工作使用基于主体的模型来研究蓝鲸迁徙。基于agent的模型计算模拟个体的行动和交互,试图揭示社区的大规模动态。

Dodson认为,每个鲸鱼的状态切换模型都选择“过境”状态(长距离移动,几个转弯)或根据当前的磷虾密度和海表面温度(在多个匝数移动短距离)the whale’s location. The oceanic data used in the simulations came from the Regional Ocean Modeling System (ROMS) and the North Pacific Ecosystem Model for Understanding Regional Oceanography (NEMURO), covering the 2000-2010 migration seasons with a 3-kilometer spatial resolution and a daily temporal resolution.

解释Dodson使用的传输觅食状态切换模型的图表。

蓝鲸是更可能在低海面温度(SST)和高密度磷虾水域觅食。在多德森的模型中使用的步骤的长度和转轮角的分布从标记鲸数据来了。

多德森在5月1日至6月1日期间,将鲸鱼从南方进入该区域的模拟进行了初始化。她向观众展示了一个模拟季节的动画,它清楚地再现了大规模向北迁移的模式。她解释说,她的模型成功地捕捉到了每年的差异,但没有显示出秋季有任何向南迁移的迹象。这是因为,除了海面温度和磷虾密度之外,南迁可能还受到其他因素的驱动。(她目前的项目是研究社交拜访在南迁中的作用。)

海洋的卫星数据通常在时间或空间中具有间隙,强迫研究人员使用比他们更愿望的更低分辨率的数据。为提高她的模型的复杂性,Dodson将其表现与“黄金标准”3公里,1天数据以9公里,1天数据和3公里,8天的数据进行了表现。她发现粗糙的空间数据导致模拟鲸鱼形成块,通过延长模拟的时间步骤来使模拟的时间步长来实现与空间分辨率相当的平均步距离。另一方面,粗略的时间数据导致模拟鲸鱼保持在一个状态(运输或牧草)太长。她解释说,解决这个问题的最佳方法是在任何更高分辨率的时间数据中添加,即使它具有空间差距。

如果你想读更多的话,Dodson的工作,她是作为一名研究生和NOAA的合作者开始的,去年出现生态模型.这只是数学如何阐明动物迁徙和为保护工作提供信息的一个例子。

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国家科学基金会和数学科学

昨天下午,我参加了一个关于国家科学基金会的未来和数学科学如何融入的讨论。我们听取了国家科学基金会教育与人力资源理事会(EHR)主席Karen Marrongelle和国家科学基金会数学与物理科学理事会(MPS)代理副主席Tie Luo的意见。医疗辅助队政府关系主管凯伦·萨克斯主持了这次谈话。

Karen Saxe,Tie Luo和Karen Martongelle的屏幕截图讨论了NSF的未来。

“设想NSF的未来:与MPS和EHR头的指导讨论”触及了人工智能,多样性和包容,Covid-19等。

首先,罗和Marrongelle讨论了美国国家科学基金会的当前工作的大局。他们都谈到了新的美国国家科学基金会主任的高度,Sethuraman Panchanathan,谁掌舵于2020年6月一致参议院确认后。“他坚定地致力于包容性和创新性研究,” Marrongelle说。“他是一个了不起的思想家,一个有远见的。”罗强调Panchanathan的“能源和信念,有一个在每个人的天赋。”

国家科学基金会的一个令人兴奋的前景来自今年的《国防授权法案》,该法案在国会推翻了特朗普总统的否决后成为法律。该法案授权(但不适当)在5年内为美国国家科学基金会的项目拨款48亿美元,用于支持人工智能的基础和应用研究。美国国家科学基金会希望资助全国各地的人工智能研究所(早期的一个例子是人工智能学院学生-人工智能团队科罗拉多大学博尔德分校)。罗勇表示,MPS致力于“AI for science”——开发能够解决科学问题的人工智能工具——以及“science for AI”——挖掘深度学习和相关技术背后的数学。

从那里开始,对话转向了教育,特别是国家科学基金会在数学社区的多样性、公平性和包容性努力中的角色。Marrongelle和Luo提到的项目中有研究生研究奖学金计划该基金会积极寻求向反映美国性别、种族和教育机构类型多样性的个人提供资助。他们都承认DEI在数学科学方面还有很长的路要走。的2017-18学年获得数学或统计学博士学位的935名美国公民其中,6人是美国印第安人或阿拉斯加原住民,81人是亚洲人,27人是黑人或非裔美国人,34人是西班牙或拉丁裔,2人是夏威夷原住民或其他太平洋岛民。

Saxe还询问了冠状病毒大流行对美国国家科学基金会工作的影响。在乎法案给了国家科学基金会7500万美元通过其快速拨款机制进行分配。这些赠款资助了COVID-19治疗和疫苗、大流行对STEM教师和学生的影响、社交媒体上的风险沟通等方面的研究。尽管如此,在其他领域取得进展仍是一场艰难的斗争,因为疫情已经给各级数学家的职业轨迹带来了阻碍。

讨论以对新一届国会的期待而结束。马朗塞尔强调说,在历届总统任期内,NSF都得到了两党支持。她说,国会工作人员和国家科学基金会代表之间的频繁会议,有助于国会了解国家科学基金会的优先事项。最终,国家科学基金会的核心是基础研究和创新,这似乎在未来几年蓬勃发展。

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爱德华·托马斯·马尔萨斯19世纪的数学方法

我一直都知道,数学在过去的200年里取得了长足的进步,但我从没想过自然史会被纳入其中。直到今天下午我去听了凯文·兰伯特关于托马斯·罗伯特·马尔萨斯的人口原理的演讲。

加州州立大学富勒顿分校的兰伯特讨论了马尔萨斯1798年的一篇文章,该文章认为人口增长总是快于食物供应。他的论点是基于对增长率的比较:食品供应将呈算术增长,而人口将呈几何增长。

这是基于很少的证据,并且完全被一些人驳回。马尔萨斯对人口总是呈几何级数增长的观点提供了可疑的支持,对他的食物供应会呈几何级数增长的说法也完全没有支持。

在准备这本书的第二版时,马尔萨斯和他的两位同事一起前往挪威、瑞典和俄罗斯探险。在那里,他收集了历史和环境数据——记录了他所看到的文化以及气温等科学数据。他研究了自然环境对人类的影响,并将他的观察和推理融入到他的论点中。

Lambert认为这种方法对于时代的研究人员来说是典型的。剑桥Mathematician George Peacock还使用历史研究来制定他对等效形式持久性的原则。这导致了剑桥的所谓的分析革命,建立了代数的研究,为像虚构和负数的想法创造空间。

马尔萨斯的工作可能为像孔雀这样的人铺平了道路。正是这样的故事提醒我们,数学在短时间内取得了多么大的进步。也许在200年后,数学家也会对21世纪的研究技术感到同样的困惑。

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波动动力学方程

在今天关于偏微分方程中的概率方法的特别会议上,我很高兴地听取了密歇根大学的扎希尔·哈尼关于他最近在波动动力学方程方面的工作的发言。

20世纪初,物理学家开始阐述量子力学的基本原理。他们的一个关键认识是,波和粒子一样是基本的物理单位。这促使科学家开始构建一个类似于玻尔兹曼粒子统计力学理论的波动系统。

对于那些不熟悉,玻耳兹曼统计描述了在一个大的系统无相互作用粒子的平均统计分布。玻耳兹曼方程描述这种分布如何随时间波动。物理学家面临的问题是一个类似的框架是否可以导出满足非线性薛定谔方程波。这是很难理解这些波的行为说,哈尼,因为有这么多的可能的解决方案。但事实证明,有玻耳兹曼方程的波浪模拟,波动力学方程。

然而,直到最近,人们还不知道如何用严格的数学方法推导出这个方程。Hani和合作者在2019年表明,波动动力学方程在短时间内保持不变,这取决于系统的细节,但人们怀疑,在时间周期上应该保持一个更普遍的界限。最近,Hani和南加州大学的Yu Deng一起改进了某些类型的波和时域的边界。

今天花半个小时学习波统计和玻尔兹曼统计的比较是非常有趣的。这项工作不仅涉及微分方程技术,还涉及费曼图和数论——这是一个有趣的例子,说明了看似不同的数学领域是如何相交的。

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