由Dimitrios Roxanas

几年前，当我在谢菲尔德大学（University of Sheffield）开始我的终身工作时，我的首次倡议是为学生（本科生和研究生）和学术人员开始解决问题的研讨会。我必须承认，当我提出设置这些会议的想法时，我有点担心（全面披露：几个月后！）：我是一个新的未经测试的雇员，没有明显的相关证书（我从未参加过数学竞赛超越地方一级的比赛），对我的资历非常明显。尽管如此，我还是得到了更多高级同事的支持，其中一些人经历了娱乐性数学问题解决者：他们不仅经常参加我们的会议，而且他们还让我决定我想追求的目标，让我设计我对这些目标做出贡献的活动。

解决问题无疑是学习和创建新数学不可或缺的一部分，但是对于许多数学家而言，解决问题也是最喜欢的消遣。我主要是指在大学前（例如国际数学奥林匹克（IMO））以及本科级别（PUTNAM，国际大学生数学竞赛（IMC））中解决数学竞赛的问题。但是我还包括来自美国数学月度，数学视野，大学数学期刊和数学杂志等期my188bet金宝博刊的问题。我发现自己受到了挑战的困扰，也涉及解决问题的艺术要素，我已经欣赏了它的研究和吸收新数学思想的方式，并解决问题。

对于我的博士学位，我曾在不列颠哥伦比亚大学（UBC，加拿大温哥华）学习，格雷格·马丁（Greg Martin）和德拉格斯·吉奥卡（Dragos Ghioca）正在组织一次普特南研讨会，该研讨会是（IS），该研讨会在每年12月的Putnam竞赛中进行了部分培训。该系列在更雄心勃勃的学生中特别受欢迎，无论他们是否打算参加Putnam，我都可以明白为什么。不，不仅是因为该部门提供的免费披萨和流行音乐！为会议选择的问题（非常）很困难，但既易于说明。为了解决他们，不必在本科学习的第一年或第二年就具有广泛的背景，但他们仍然会带来令人兴奋的挑战。您必须从相当基本的材料中汲取灵感，但是要在这些问题上取得进展，您必须以创造性的方式使用这种基本材料。我总是发现这一挑战非常有意义，在UBC，很明显，我不是唯一感觉到这种方式的人。

我目前的解决问题会议（PSS）在两个学期中每两周举行一次。会议持续1.5-2小时。它们发生在一个大型演讲厅（亲自）或黑板（我们的虚拟学习环境）中，而由于大流行，所有教学和学习活动都在网上移动。当亲自有披萨（有点违反直觉）时，我总是在几片后感到“慢”！），结构很少。我分发讲义，然后人们四处走动，使用董事会，聊天，集思广益，沮丧地大声叹息，但当突破来到时也很高兴。我喜欢它！我的小组邮件列表中有110多个成员，我们通常会看到30-70名学生和教职员工参加会议。我估计普通成员约40名，其中绝大多数是本科生。

学术人员和研究生始终受到欢迎，尤其是教职员工。他们经常参加。有时我们甚至有6-7名学者参加。我无法强调在这些课程中发现教师的存在多么重要。这是增加教师接触并使学生感到学术界的一部分的绝佳机会：学术公民身份也扩展到他们。这是一种轻松而友好的氛围，学生可以轻松地接近教职员工，寻求建议，弹跳他们的想法，要求检查他们的工作，或者只是谈论学术生活和研究。

从教学的角度来看，从中有更多的好处：我没有在会议前与教职员工分享问题和解决方案。故意。尝试这一点的想法是个人反思的结果。多年来，我一直在思考如何提高自己的解决问题的能力并成为更好的研究人员，并且我经常发现自己对书籍和论文中的问题和证明的阅读解决方案感到沮丧，对导致他们的动机毫无头绪。他们怎么知道这样的引理会很有用？他们是否提前知道这个结果？如果是，他们是如何意识到这在此环境中适用的？他们甚至如何认为这是要证明的正确陈述？怎么能一世学会看看他们看到了什么？

当然，在我看来，“他们”通常是一个无面的权威。我永远无法匹配的具有固有的数学才能和照明速度直觉的人。一世t wasn’t until I started working with Stephen Gustafson for my PhD that I realized that if those, very experienced and technically-skilled mathematicians, cared to share their insights and way of approaching problems (as he did), I could also start thinking like them. At first, you perhaps start by blindly applying to your own work their principles and rules-of-thumb, even if you haven’t fully internalized them or appreciated their significance in your context. Practice, and regular reflection, will eventually help you master it.

这就是为什么我希望学生看到经验丰富的数学家处理具有挑战性的问题，剥夺了大多数背景，并见证了他们的思维过程。我设定的问题通常足以使专业的数学家陷入困境。我将是第一个承认我无法解决的问题，还有许多其他人需要大量时间，努力和横向思考，然后才能发挥作用。我希望PSS还可以作为研究培训。在研究中，我们通常不知道如何开始或哪些工具有用。那一个人可以做什么？您可以尝试小型案例，也可以通过稍微更改问题来实验，例如，删除或添加假设，使用“更好”的功能，而不是“允许”，或者您可以扩大可允许解决方案的空间。而且我发现应该始终在寻找图案的地方。为什么？因为当我发现模式或进行一些观察时，通常会（自然地）提出主张和猜想。 But that’s great news! This is something tangible I can try to prove (or disprove). It is unlikely (at least for me) that one will simply look at the problem and know immediately how to go about it.

所有这些与学生在家庭作业和考试中的习惯都大不相同。上下文总是很清楚的（必须与我们在课堂上介绍的当前章节相关），并且在进行练习时可能有一些可能的工具可能相关。引用P. Zeitz（“解决问题的艺术和工艺”，2007年，John Wiley＆Sons）练习“可能很容易或难以令人困惑”。显然，在数学课程中有一个清晰的练习场所：这就是学生学习技巧以及他们如何内化理论的方式。当然，我经常使用“机械”练习来帮助他们巩固对材料的掌握并欣赏定义，但我也将它们暴露于更难的材料上，如果我认为必要的话，我可能会脚手架。但是这些仍然不是问题。问题可能是开放式的，绝对不是一个人立即看到如何解决的问题。要更具体地了解我正在谈论的问题的类型，请考虑以下内容（Putnam 2014，b1）：

一种基本10过度膨胀积极整数 是形式的表达

$ n = d_k 10^k + d_ {k-1} 10^{k-1} + \ cdots + d_0 10^0，$

使用$ d_k \ neq 0 $和$ d_i \ in \ {0,1,2，\ dots，10 \} $，用于所有$ i $。

例如，整数$n=10$有两个基本的10个过度扩张：$10=10\AA {10}^0$

和通常的基础10扩展$10=1\AA {10}^1+0\AA {10}^0$。

哪些正整数具有独特的基础10过度膨胀？

这个问题的困难部分是提出正确的主张来试图证明。然后实际证明该主张是技术和良好的簿记问题。一世f you haven’t solved the problem, and I tell you that I claim (and then go about proving it) that the answer is “all the integers with no 0’s in their usual base-10 expansion”, you have every right to feel that the claim came out of the sky, and perhaps question your ability to ever do good mathematics. This is a prime example of a problem that invites investigation (and exactly why I picked it).

在这里分享我们与学生进行的所有实验是不切实际的，所以让我概述一些亮点：

首先玩几个数字，甚至可能是一开始就随机。这里的“播放”是指尝试在两个不同的10个不同的过度扩张中表达积极的整数（数字不同）。

例如，一个人可以开始查看10的倍数，并可以轻松地看到它们不能具有独特的过度膨胀。小于10的数字呢？10之间的数字呢？

我们可以在搜索中更加系统吗？也许，让我们首先看一下2位数字，然后看3位数字，等等？

列出您的发现。（我们正在尝试发现模式！）

因此，对于范围内的整数（“ *”是任何数字1-9的占位符）：

1-9：独特的过度膨胀

10-99：如果倍数为10，即形式 *0。嗯……不是唯一的。

100-999：如果10个（即形式 * * 0），则不是唯一的，但是请等待！我还可以为表格 * 0 *的数字找到另一个表示形式。唔…

1000-9099：让我们看看，我可以找到与表单 * * * 0， * * 0 *， * 0 * *的标准基本10表示形式不同的。嗯...！

这已经提示了一种模式！所有这些在小数的扩展中都有0；那时我是否正在寻找通常在他们通常的Base-10扩展中没有0的整数？

一旦建立了具体的“数学”主张，一些人就会证明这一点（这并不难，我邀请所有人尝试）。这是一个问题的一个例子，如果您花时间盯着它，而没有通过一些例子“脏”，那么您甚至可能永远都不会弄清楚如何开始！

我还试图提醒学生，有时您会被固定在错误的模式上，或者您没有检查足够的案例是否有受过教育的猜想，而您试图证明的是实际上并非如此。你知道什么吗？没关系。我们仍然从无效的方法中学习（他们可以告知成功的方法）。此外，许多著名的数学家声称最终是错误的陈述。我们处于良好的陪伴状态！

看到教职员工的处理方式与他们处理研究问题的方式相同，对我的学生来说是具有启发性和激励性的。有趣的是，自从几年前我们在谢菲尔德开始这项活动以来，本科夏季研究项目的吸收急剧增加。作为这两个计划的协调员，我看到参加PSS的人和从事夏季研究的人之间存在重大重叠。在某些情况下，本科生开始参加研究研讨会，或组建高级学习小组，在某种程度上，他们甚至开始共同处理开放问题！

我发现，这种解决问题的方法（即调查和实验），或更确切地说，这种态度不一定是我们学生的发达本能，甚至不一定是更好的本能。但是，再次同意P. Zeitz，可能是教和养育。鼓励与教师的会议互动是一种方法，但这只是我尝试做的事情的一个组成部分。我还通过如何提出解决这些问题的解决方案，当然是通过选择问题来取得进一步的进步。显然，两者是连接的：适当的问题将使我有机会突出这种方法中的步骤。

在编写有关此类问题的解决方案时，我的目标是阐明思维过程，而不是像您在教科书中看到的那样提出线性博览会。So I don’t hesitate to take a nonlinear path, sharing my thoughts along the way, showing dead-ends, adding remarks that explain the state of my insight into the problem, but also how my intuition is strengthened and my insight deepened as I experiment, calculate, and develop small-scale plans. And again, isn’t this how we do research? In my opinion that’s not only an appropriate approach but also a desirable one. To quote Steven Krantz (from “How to Teach Mathematics”, 1999, AMS)“……我们（从特定到一般）而不是演绎（从一般到特定）进行归纳学习。演绎模型非常适合录制数学，但对于发现数学并不适用……”。

作为一名教育工作者，我很高兴这项活动使我能够超越低点（知识，理解和应用）专业知识的阶段（在布鲁姆的分类法中）分析和合成。这正是因为这些问题需要调查，投机和猜想，然后才能接近解决方案。分析和综合中存在的调查要素是，学生在学习数学时很少能体验到。

除了教学原因，谢菲尔德很明显PSS对参与的影响很明显。社区意识更加明显。学生教师互动有所增加。学生们非常积极地看到了这一点：许多人开始觉得他们是该部门学术界的成员。以前被分配的学生发现了志趣相投的同龄人，他们现在正在一起学习，超越课程，共同参与研究。呢

话虽如此，还有很多事情要做。参与这些活动的学生在表现较高的活动中被公认，如果我们为他们提供机会，就越有可能参与其中，而他们通常是更倾向于纯粹数学的人。如何与更多的学生接触？我的第一个尝试是包括第二类问题，或者是两个类别。基本上，以技术访谈问题的形式挑战了brainteasers。另一个是“算法难题”，可以以系统的方式解决这个挑战性的问题（也许是在重新铸造为更适合形式的形式之后），例如使用动态编程。我希望这将吸引那些对编程或更“应用”的学生，并为那些具有挑战性的Quant/Software工程/数据科学访谈提供一些培训。我的下一个项目将是引入第二个系列围绕数学建模旋转，希望我们能够访问其他学生群体的不同子集。

One of the hardest aspects in organizing this activity was striking a good balance: and trying to be more inclusive, trying to adjust the level of the problems so that students don’t get totally discouraged, but at the same time making them hard enough for students to think outside the box, embrace new techniques and the “investigation-first” attitude that I am hoping to promote; and to also build resilience in the face of challenge. I don’t claim to have found an algorithm for selecting good problems, and I am sure some keen students have been occasionally discouraged despite my best intentions. Other than managing expectations and working towards a supportive environment where “failing” is seen as a necessary (and expected) step of the process, I have tried to adapt too: I have been starting the sessions off with quick, “warm-up” problems, still not trivial, that everyone has a chance to solve. (Groups of) students work independently, so nobody will notice if you spend the whole session working on the “warm-up problem”. Note to self: stop calling it a “warm-up” problem?

对我来说，“焦虑”的另一个来源来自涉及的工作量。在过去的三年中，我为解决问题的会议输入了300多页。我从各种来源编辑了“理论”（证明方法，特定的问题解决策略和技巧），我创建了大约40个讲义，并且为每个问题写了非常详细的解决方案。那需要什么？首先，我确定要讨论的主题，并研究我的来源，以激励方法和示例。在查看官方解决方案之前，我总是自己解决问题，这意味着我可以（非常）卡住，而且我经常不得不丢弃问题（也许是因为有一个非常具体的技巧，或者您需要知道一个相当深奥的结果）。然后我输入所有内容。Looking back I usually need 10-15 hours of preparation for a single problem solving session, and so far I haven’t been able to recycle work from previous years — I think that I will eventually try for a 4-year cycle and hope that my colleagues won’t mind seeing some of the same problems every 4 years!

我想快速讨论过渡到在线会议的过渡，这是Covid-19带来的必要性。这确实需要一种新的方法。您不可能在一个在线会议中复制大型房间里的比萨饼和人民动荡的氛围，我很好 - 意识到，无论我们尝试什么，社交方面都会受到损失。在线会议中的挑战之一是，只有一个人可以同时讲话（除非您当然正在使用“突破室”）。另一个挑战是，很难确保进行一些认真思考的和平与宁静的间隔。我意识到我必须避免长时间的沉默，这很尴尬，所以我改变了会议的格式。我没有在会议上第一次分享问题，而是要提前3-7天发送他们，并要求人们自愿提出他们的解决方案（或者只是他们尝试过的事情）。他们要到会议前一天晚上，让所有人都知道他们是否想这样做（我们总是至少有一名志愿者，无论是学生还是员工）。但这只是其中的一部分，因为那不能保证我们在会议上总是会很开心。而且，如果它不会很有趣，为什么还要做呢？

我在在线版本中介绍的另一个功能是“快速火灾问题”。我的意思是选择一些有趣的问题（通常来自UKMT高级数学挑战，可以在5-10分钟内解决的AMC或AIME）。我们将与其中几个开始，然后将它们插入更“严重”的问题的演示和讨论中。因此，我会给我5-15分钟，这取决于问题的困难，这受到了安静的时间，在此期间，鼓励学生向我发送带有问题/解决方案的私人信息。一旦到了，我会要求志愿者提出他们的解决方案，通常使用交互式在线白板（以及可视化器）。这项活动产生了很多互动，并提供了更多的好处，即创造机会使更多的学生能够成功解决（但仍然）具有挑战性的问题。

经过19个月的社会疏远和多次封锁，英国大学最近恢复了面对面的教学。还有什么比攻击艰难的数学问题（在我们正确通风的演讲剧院）更好地庆祝面对面活动的方法？我们的问题解决课程本学期的出席记录记录是：一场会议中有65名学生和5名员工，我们定期接待30-40名学生。可以想象，我们一直在爆炸！我们迫不及待地想解决今年12月的Putnam竞赛中的问题。

我想通过感谢谢菲尔德大学的同事，尤其是（按字母顺序）詹姆斯·克兰奇（James Cranch），尼尔·达米根（Neil Dummigan），弗雷泽·贾维斯（Frazer Jarvis），贾亚塔·曼纳（Jayanta Manoharmayum），菲奥宁塔·鲁克玛（Fionntan Roukema），伊夫根尼·史德（Evgeny Shinder）和艾伦·齐诺伯（Alan Zinober），为他们提供支持这些活动，为他们提供支持输入和反馈，更重要的是为更好的学生体验做出贡献。

关于作者：Dimitrios Roxanas是英国谢菲尔德大学的数学家。他在不列颠哥伦比亚大学获得博士学位，然后搬到英国，在搬到谢菲尔德之前在爱丁堡大学和巴斯大学度过了几年。在谢菲尔德大学，他是解决问题研讨会的组织者，是下城的协调员