创建数学定义课程的最佳合作计划

由:
Steven Boyce,波特兰州立大学
迈克尔离子,密歇根大学
瑞龙赖,内布拉斯加州林肯大学
凯文•麦克劳德威斯康辛大学密尔沃基分校
劳拉Pyzdrowski西弗吉尼亚大学
南佛罗里达大学的Ruthmae Sears
Julia St. Goar,Merrimack学院

所有作者同样贡献给编制文件。

在本科生的数学课上,学生通常如何理解新的定义?是给学生提供一个定义,然后老师帮助学生理解它吗?学生有机会创造自己的定义吗?通常,当教师选择让学生参与定义的过程时,教师的角色可能是鼓励学生以一种特定的方式构造或表达他们的定义,目的是引导学生找到教科书中的定义。这可能是一项艰巨的任务。毕竟,制定这类课程意味着预测学生可能做什么或说什么,决定什么时候让学生继续说,什么时候插嘴,并对意想不到的贡献做出回应。设计一门数学上实质性的课程,同时也为学生提供大量的发言机会(包括学生向其他学生提供反馈)是非常困难的!即使有最周密的计划,意外还是会发生。

应对这一挑战并在意外发生时获得支持的一种方法是与其他导师合作。这篇文章的作者都是专为未来高中教师开设的几何课程的教师,他们参加了一个名为“得到:铅笔每隔一周召开一次社区会议,有时会更频繁。这些社区会议聚集了来自全国各地的大学几何教员,就主要由职前教师讲授的几何课程的相关问题进行合作。我们中有数学和教育教师,他们的学术背景从数学物理到差分方程到双曲几何,从学生认知到教师教育。我们看到了大流行病时代共同规划和共同传授共同教训的机会。在Zoom上,我们可以在3000多英里之外的同一个房间里互相学习。虽然涉及课程设计的实践(如日本的“课程研究”)已经在一些K-12设置中建立了几十年,但在本科设置中仍然相当罕见,尽管有一些例外

在这篇文章中,我们分享了我们的经验,可以在任何课程中教授的课程,以及这一课是如何没有按照计划进行的。我们本节课的重点是创建一个新的定义。尽管在定义上没有达成一致,但这个过程引发了许多数学问题。

我们首先展示要定义的概念的关键示例。然后我们描述为什么选择使用这个例子,我们如何围绕它建立一个教训,以及意想不到的结果。最后,我们讨论了我们所学到的(并希望继续学习)关于协作规划和教学的内容。

定义相互关系

考虑以下图像:

“相互”adinkra是我们这篇文章的一个关键例子
图1. Boa Me Na Me Mmoa Wo Adinkra符号
在数学上如何描述这个数字的美学吸引力?

(来源:https://csdt.org/culture/adinkra/geometry.html)

Boa Me Na Me Mmoa Wo是.Adinkra是加纳阿善提人创造的代表概念的符号。它的英文名字是“帮助我,让我帮助你”。

我们的活动让学生构建定义的重点是这个Adinkra符号的数学属性,使它在视觉上吸引人。通常,作为数学家,我们认为“对称”是一种描述美学优雅的方式。然而,这里唯一标准的“对称”是一个单一的反射。直观地说,把这个Adinkra的“对称性”仅仅描述为一个单一的反映似乎是不完整的。ethnomathematics的教育家罗恩Eglash建议蟒蛇我是我的mmoa wo展品相互关系上面的三角形少了一个正方形,但多了一个圆。下面的三角形少了一个圆,但多了一个正方形。双方都有对方需要的东西来完成(自身)。”我们的主要任务是如何定义相互关系。在这一点上,我们鼓励读者尝试创建一个数学定义,描述Boa Me Na Me Mmoa Wo符号的突出美学。

我们有几个理由共同设计一个关于相互关系的课程。一开始,我们希望我们的学生互相学习,以富有成效的方式讨论几何概念、定义和公理化系统。我们还希望课程能够允许学生比较定义,并且能够以一种从变换角度连接到二次几何的方式来进行。我们考虑了几个与转换的二级几何标准相关的任务想法,如比较滑翔反射的定义,或识别的对称性Frieze图案.我们最终决定专注于一项探索Adinkra和相互关系的活动,因为它为我们的学生(和我们)提供了一个机会,扩大我们的知识,从非欧洲中心文化的数学联系。此外,因为“相互性”不是标准的对称(即,用旋转、反射、平移或合成来描述),也因为它(还没有!)没有一个普遍接受的数学定义,我们看到了一个机会,让学生体验真正开放的数学探究。

我们还注意到,我们使用Adinkra时,至少得到了一些Adinkra创造者的默许。网站上的所有资源文化定位设计工具我们了解到Adinkra的时候,它是由Ron Eglash传播的,得到了他访问过的人的明确许可,他去了解他们的设计,并且知道学生和教师可能采用数学方向,不一定直接与文化渊源相一致。

课程任务:对Adinkra进行分类

我们决定用排序任务打开课程,每个学生单独完成:


图2。你怎么对这十二个Adinkra符号进行分类?
(符号来源:https://www.adinkrabrand.com/blogs/posts/african-adinkra-symbols-and-meanings)

我们设计了如图2所示的谷歌Jamboards,每个Jamboards上都有相同的一组符号,提示每个学生:通过审美将这些符号归类;把每一张图片精确地放在一组;然后为每一组确定名字。

接下来,我们将学生分成小组,让他们回顾个人分类并讨论:分组有什么共同之处?他们是如何不同的?这些问题有两个目的。首先,它们可以引出创建定义所需的讨论;例如,明确属性,处理分歧,达成共识。第二,他们允许教师听到学生经历这个过程,给予必要的支持,并根据需要调整课程的后面部分。

在选择要包含的符号时,我们包含了几个具有旋转和反射对称的符号,Boa Me Na Me Mmoa Wo符号(图1),以及我们预计学生可能会使用的符号。我们希望为学生们播下一颗种子,让他们看到有必要精确地定义(并参考)标准的数学对称性。

课程任务:定义Bo Me Na Me Mmoa Wo符号的美学

接下来,我们计划让学生根据Boa Me Na Me Mmoa Wo来定义相互关系,首先是单独的,然后是小组的,然后是整个班级的。我们注意到,最后,学生在阅读了上面引用的Eglash的描述后,制定并修改了个人定义。

我们问学生:

图3.如果您必须使用同样美观创建另一个符号,您会产生什么?你如何为蟒蛇队定义一个美学类别,为我m m mmoa wo符号?

为此做好准备,我们通过集思广益,对自己的一些潜在的定义进行了头脑,为自己经历了可能出现的解释的不确定性。例如,我们一个定义的相互性之一是:

以图a为例,如果有B的两个子集,a的C,以及f和g的两个等距,使得a U f(B) U g(C)比原图a具有更多的对称性,则a具有互性。

例如,在美国银行Na我恐鸟我的象征,我们可能需要B广场,底部C外圆,f是一个等距映射B的“空”的广场,C和g是一个等距映射到“空”的循环。那么A U f(B) U g(C)有一条对称线。我们中的第二个定义了互斥性要求用刚性运动将符号的一部分相互联系起来是一种对合,而第三个定义了互斥性要求至少有一条反射对称线。我们中的第四个人指出,在发展过程中,学生可能会看具体的视觉特征,比如一个图形是否具有垂直或水平的对称线,或者一个图形是否包含螺旋或多边形。我们想知道学生们是否会将相互关系描述为整个图形上一系列动作或操作的存在,还是两个子图形所展示的东西,以及他们是否会将黑白对比视为存在/缺乏点或不同的颜色。

我们计划通过与学生汇报课程来关闭课程,讨论他们从事的过程如何适用于在次要几何教室中定义活动,并为他们提供资源来探索Adinkra,包括他们的起源,名称和含义。

我们的计划遇到了意外:共同授课

Boyce博士和西尔斯博士在150分钟的课堂上共同教授课程的第一次迭代,其中六名学生在数学教育中注册了硕士学位课程。其他三家共同作者参加了观察员。我们很幸运,这堂课已经制定了一个热情,欢迎和支持性的环境。这是大部分的,强调“五r”每个班级会议:严谨,相关性,协同责任,文化响应性和真实关系。“五圈”代表了西尔斯博士在课堂内强调的观点,以支持严格数学的发展和社区感受,每个人都在合作协同构建数学意义并发展概念理解。

学生们是如何分类的?学生们是如何定义的?

这是我们的第一个惊喜:没有一个学生是按照对称来排序的!相反,学生们有“椭圆形”、“星形”、“漩涡”、“粗线”、“4”和“2”等类别。图4显示了一些学生组。


图4.学生创建的一些符号组

这里是合作教学的好处:在目前的决定中进行协作。An observer noticed that the students, working in groups of three, were focusing on types of polygons required (i.e., that it should consist of triangles, circles, and squares) in their definitions and we were concerned that the discourse might be headed away from our goal of eliciting transformational reasoning.

西尔斯博士预测,如果博伊斯博士要求使用“4”和“2”的学生在全班讨论中说出他们分类的理由,那么这可能会为班上其他学生带来转换推理。西尔斯博士观察到,其中一组学生对“4”和“2”的描述立即达成一致,这可能是因为描述的实际性质:符号中明显的块数。这组学生接着讨论了设计中粗线和细线的具体位置。西尔斯注意到博伊斯强调的是具体的视觉效果,他建议博伊斯可以问这样一个问题:“如果我要重建分组,你知道怎么做吗?”西尔斯博士所说的“重建分组”是指以一种能够复制特定符号分组的方式对符号进行重新排序。她的直觉是,这些学生会用几何变换来描述图形之间的关系。这些策略奏效了:然后学生们讨论关于x轴和y轴的对称,想象符号上的反射线。

然后我们把学生分成两组,让他们定义相互关系。一组的定义是:“应该由一个末端有形状的椭圆形组成”。第二组将其定义为“有一条对称线的形状,直线必须是垂直的,形状由正方形、三角形和圆形组成”。这两组人的定义集中在什么样的形状可以用来形成这个特殊的Adinkra。虽然我们有机会讨论精度(例如,形状“在末端”意味着什么?),并在这些定义上达成共识,但我们预期讨论将偏离Eglash所描述的相互性概念。因此,我们放弃了让学生比较和修改这些定义的计划。相反,我们决定在Eglash对概念的描述的基础上,通过引入一个意料之外的提示,让学生们单独考虑:“什么属性使定义具有数学性质?”

学生们在Padlet上发布了他们的想法,然后互相要求澄清问题。该班级来到了一个学生的描述捕获了他们的思想:“当可以使用数学词汇并产生足够的特异性时,一个定义是数学。”他们承认,确定了什么构成“数学词汇”仍未解决过。

这个提示提高了学生们的下一个尝试,尽管它也向我们展示了我们可能需要继续构建学生的数学语言和推理的地方。当学生们再次阅读Eglash关于互性的描述并构建修改后的互性定义时,他们对精确性表现出了更多的关注。例如,一名学生写道:“将两种形状的缺失(互补部分)转化为整个图形的对称。”另一名学生写道:“如果每个形状的某些区域可以转化为另一个形状,使所有形状一致,那么两个或更多的形状是相互的。”这个学生继续说,“这适用于单色的形状,但有多种颜色的形状呢?”第三个学生写道:“移动大小、形状和颜色相同的碎片,以保持原始图形的对称。”在这些修改中,我们可以看到他们对几何变换和更精确的语言的关注,这在他们的第一次尝试中是没有的。

最后,一个学生以数学家会用的方式询问候选定义:想知道例子和非例子的边界。这个学生想知道:“翻译作品的面积必须相等吗?”如果一个形状给了100厘米,那么形状之间的交换是相互的吗2接收到1厘米2?仅仅因为一种交易是公平的,就意味着它是相互的吗?”学生画了图5中的图形,问:“这两个图形是相互的吗?”


图5。这两个数字是相互的吗?

这名学生的评论与Eglash在作者参加的最近一次谈话中所做的观察有关。Eglash提到“相互性”的要点在于交换的对象是不平等的,所以交换创造了一个相互义务的系统。

在修改后的整个课堂讨论中,博伊斯博士注意到,学生们都想采用“完全”的概念,并建议一些学生从几何变换的角度来考虑它,另一些学生从全等的角度来考虑“完全”。

两名学生随后公开讨论了“完成”的含义:
“完整意味着什么,这只是一种直觉。”
“那么‘整’呢?”‘whole’在数学上能代表‘complete’吗?”
“整个甜甜圈上都有个洞,你知道吗?”
“这是一个不同的整体,这是‘洞’。”
“但是整个甜甜圈'整体',它错过了一部分,还是完整的?”
“因为它是一个没有中心的圆。”
“但对我来说,如果我正在寻找一个甜甜圈,我不想填补那个,我会很酷。”
此时,离下课还有5分钟,西尔斯博士指出,人们可能需要从定义“整体”作为确定“完成”的一种方式开始。博伊斯博士以对Adinkras的简要概述结束了这堂课。

正如本课程展开的那样,我们最好的计划致以AWRY,没有关于“相互性”的定义的阶级共识。然而,课程还建议没有共识的领域可以是进一步的数学讨论的开口。例如,“完整”的含义及其对给定的“整体”的依赖性可以稍后参考作为甜甜圈的示例,作为一些数学定义如何取决于环境空间的示例。相互性要求的问题需要“同时”提到的想法,即一致性不是设想等价的唯一途径。相似性也是一种考虑等价的方法。最终,人们可能会设想基于相互性的形状的新的等价关系。

汇报和下一步

我们第二天早上遇到了一个小组,在课程后汇报。我们从规划,促进和反映了课程结果的过程中学到了什么?我们有现场笔记和学生工作的截图,由观察员在课程中收集。我们能够记录整个阶级和小组的讨论,以便随后查看,我们一起审查了视频录制,并记录了我们注意到的内容。

有时候,当教授合作设计的课程时,可能会有“坚持课程计划”的压力。但根据我们的经验,即使在当下,教练也可能不得不对计划做出调整。无论是共同规划,教师都需要在飞行中调整课程。当合作教学时,我们有机会与合作伙伴一起解决修改问题。当共同规划时,我们有额外的机会从以前的修改中学习。

在进行调整时,教师需要记住他们预期的学习目标,以及不同的意图是否更适合一节课。在课程的第一次迭代中,学生们能够比较定义并提高他们的精确度。在书写更精确定义的过程中,学生们利用了几何变换的语言。我们相信,他们在定义上的改进是基于一种即时修正:要求学生清楚地表达出使定义具有数学性质的属性。

这节课的目的之一是让学生对班级定义达成共识。这件事并没有发生,也许在我们所拥有的时间里也不会发生。然而,更重要的事情发生了。也就是说,学生们开始看到草案定义可以改进的地方。学生对“完全”的数学模糊性的处理,具有真正的数学探究的特征。他们利用自己的数学知识来阐明一个新概念的性质,他们确定了可以用不同方式解释等价的领域,并确定了需要更精确定义的领域。随着我们推进到后续迭代,我们将继续思考学生如何掌握精度,什么可能阻碍精度,什么将支持精度。同样重要的是,我们将关注数学探究发生在哪里,以及如何帮助学生看到他们打开的大门。

分开的想法

这是一个难得的机会,多个教师一起计划一节课,一起看到结果,一起学习教和学。由于对在线教学的需求,我们能够在六个不同的州进行合作。在计划课程时,我们从彼此不同的经验和专业知识中获益。例如,博伊斯博士之前使用过Adinkra背景。对定义的关注来自麦克劳德博士,并得到了其他人的支持。分类任务与赖博士在完全不同的背景下写的任务相似。我们计划向学生提出的问题种类,以及通过“五个R”强调合作,都来自西尔斯博士的经验。我们一起设想了一个比我们单独设计的更强大的课程理念。在接下来的几个月里,随着我们在更多的课堂上看到这一课的展开,我们将学到比我们个人更多的关于教与学的知识。最重要的是,也许尤其在这个时候,我们也通过这次经历在彼此身上找到了一个教学社区。

致谢报告的工作得到了NSF DUE-1725837和NSF DUE-1937512的支持。所有的观点都是作者的观点,并不一定代表基金会的观点。我们非常感谢Mark Saul和Carolyn Abbott提供的有用意见。

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