《两顶帽子的故事》(Terrance and Lamar):支持学生进行真正的数学探究

特伦斯·彭德尔顿,德雷克大学

至少上过我一节课的学生对我的另一个自我拉马尔(Lamar)很熟悉。如果他们要描述他,他们可能会说,他是数学领域的典范。他们可能会说Lamar倾向于通过做出错误的假设和/或使用错误的逻辑得出错误的结论。当在课堂上犯了一个错误时,经常会有人说:“这完全是Lamar的举动。”

你可能想知道拉马尔是怎么来的。让我带你回到三月一个寒冷的春日,在一个基于证明的线性代数课堂上。当我几年前第一次看到这个材料时,我花了不少时间来理解标量2和单位矩阵在矩阵代数中的区别。在我最近的线性代数课上,Lamar强调了这个区别,因为他试图证明如果a ^2 - 2A + I = 0方阵a是可逆的。一旦拉马尔的名字离开我的嘴,学生们就会变得更加警觉,因为他们会注意到拉马尔将不可避免地犯错误。确实,对于上面提到的例子,Lamar发现A的逆是由2a给出的。对他的错误的识别导致了关于矩阵代数的富有成效的讨论,我在心里为我认为是一项出色的工作而拍拍自己的背。

在Lamar被编造出来之前的几周,我试图强调矩阵求逆和除法之间的区别。我故意错误地试图通过取矩阵中每个元素的倒数来定义方阵a的逆——这是一个经典的拉马尔法。我希望有人会因为这个错误而责备我,也许会因为我走上了这条被遗弃的道路而(轻轻地)惩罚我。当我在黑板上停下来,让我的错误渗透到每个人的脑海中时,后面的一个学生转了转眼睛,质疑我领导全班的能力。他想知道(大声地)我是否具备教这么高要求的课程所必需的知识,也许他们应该再找一个助教。他很快指出我不能做出这样的定义,我甚至会给出这样的定义,这让他很生气。

在那一刻,我感到有必要证明自己是一名数学家,并向他们表明,我确实有权帮助他们完成数学之旅。为了保护真正的数学研究的完整性,我需要戴上两顶帽子——“Terrance”帽子和“Lamar”帽子。当我戴上泰伦斯的帽子时,我是这个领域的专家,知道所有关于感兴趣的话题的知识。为了赢得他们的尊重和信任,开发毫不费力。当我戴上我的“Lamar”帽子时,我试图通过强调探究以及如何利用错误来发展健全的数学思想来使做数学的活动人性化。我想让他们体验到我从事数学研究时所使用的相同过程。我想让他们看到,思维——相对于最初的能力——对于达到数学理解的理想境界是多么重要。我想让他们真正体验成为数学家的意义。

由于上述原因,当我与学生们一起进行新颖的研究项目时,我试图成为拉马尔而不是特伦斯。无论他们的数学之旅,我邀请任何学生参与。因为这一政策,我吸引了各种各样的学生——从那些甚至还没有在德雷克大学上过数学课的学生,到那些已经上过我们提供的每一门高级数学课的学生,他们都想知道数学是如何告诉人们飓风的。我试图摒弃那种你必须满足一堆先决条件才能打开数学之门的观念(即。无论学生们在学习之路上处于什么阶段,我都会努力让他们尽快参与到研究中来。

我也有目的地选择我专业领域之外的问题(尽管坦白说,学生选择这些问题)因为我想加入他们在这一领域的发现和展示一个漏洞,我在课堂上无法显示(即当我戴着帽子“特伦斯”)——作为一个年轻的pre-tenure黑数学家在大多数机构,我不想邀请我学生质疑的权利,有时候也是这样。我想让学生真正感受数学家的感觉,对一切都提出疑问,陷入困境,再试一次,反复修改草稿,直到找到答案。我从来没有真正想过我在德雷克扮演的多重角色——从分析课上的所有知识的承载者到不知道如何“数学化”飓风的人。我认为这有助于学生们把我当成一个人来看待,接受质疑和错误。此外,我正在使用同样的整合研究的过程,通过创造一个可以安全地发生错误的空间来招募有色人种和其他弱势群体的学生。

当我帮助学生们驾驭他们自己的数学之旅时,我所戴的许多帽子都给我带来了一定的压力。我发现自己在通过探究学习和教学的过程中,不断地协商和重新协商自己的身份。一方面,我不想过分强调自己的专业知识,因为这阻碍了学生发展自己的专业知识和身份;我想证明我的专业知识足以证明我有能力帮助学生导航他们的旅程。我试图在我的领域的课堂专家和数学家之间游走,前者看到一个有趣的问题,但不知道最终的答案是什么——当然,前提是一开始就有答案!这与我刚开始职业生涯时形成了鲜明的对比。我和一个学生的第一个研究项目涉及一个我已经知道答案的问题。而不是创造一个空间,让学生可以打造自己的数学身份,我精心设计了一个经验,我知道将导致一个令人满意的结论。由于这种经验的严格控制,我能够人为地纠正他们的路线,每当我觉得他们偏离太远。也就是说,我阻止了这个学生有一个真实的经验,什么是真正的数学家——如何思考和推理一个感兴趣的问题。

现在,我有意识地选择那些我不知道最终解决方案是什么的问题。我不知道问题的方向,也不知道我需要什么数学工具才能得出满意的结论。但现在,这很棘手,有时我做的时候确实会感到紧张。我走进去,然后说,“好吧,让我们看看能不能一起集思妙想一下,因为我承认我有一两个想法,但我不知道它们是否真的可行。”作为这次经历的一部分,学生们可以看到真实的我。这是一个数学家,他并不知道这些答案是如何工作的,但他有一些想法,可以利用他的训练来帮助他的职位。我认为我能够将这种体验人性化,让他们看到,“哦,他知道所有这些东西,但他仍然需要弄清楚如何使用这些东西来告知他的下一步和他的位置,”以及类似的事情。我认为经验和那些站在教室前面的人一样重要,这些人给他们提供了所有的背景,这些人是他所在领域的专家,是谁提出了这些东西并把这些不同的想法和概念编织在一起来讲述一个美丽的故事为什么事物会像微积分,线性代数,或其他数学课程中那样运作。因此,我没有过多关注任何可能的后果,而是抓住了这一点。 For instance, I wondered if students would think of my classroom persona as a farce. Like he knows all this stuff, but then when it gets to research, he’s clueless. On the other hand, perhaps the response would be something to the tune of “I feel okay now going in and not needing to know the answer because he doesn’t either, and he’s an expert in his field.” So, I have embraced this duality between being this content expert in the classroom, and then being this humble mathematician, who sees this really interesting problem, latches onto it, and then works it out like a mathematician. Thankfully, it’s been a pretty great experience thus far in creating these research spaces for early mathematicians.

这部分经历是由NSF资助的,该资助调查了数学研究项目的实施方式早期在学生的大学数学职业生涯中,激发了学生对数学的投入和兴趣。学生们有机会提出自己的问题,然后发展技能,建立创新的定量解决复杂问题。它特别关注那些在历史上被数学专业排除在外的学生。参与的学生都是从非专业或预科数学课程中招募的,其中特别强调招收有色人种的学生。

在过去的一个学期里,本科生们根据自己的兴趣,进行了两种真正的数学研究:

  1. 音乐是如何在社交媒体上走红的:在这里,我们试图通过模拟一首歌曲在TikTok、苹果音乐(Apple Music)和Spotify等社交媒体上的传播,来量化一首歌的成功。通过利用流行病学模型(例如用于模拟COVID - 19传播的模型),我们正在制定一套参数,以更好地了解歌曲应满足的条件,以优化其病毒传播的机会。
  2. 如何制作可持续使用的一次性咖啡杯。虽然一次性塑料是一种方便的方式来享受你最喜欢的咖啡店的冰饮料,它的使用带来了一个高昂的环境代价。通过结合经济激励、对一次性塑料杯的优化重新设计和替代塑料来源,我们寻求将依赖这些商品来维持业务的公司使用的塑料总量降至最低,同时保持最低利润。

该材料基于美国国家科学基金会DRL1821444和DRL 2021161资助的工作。本材料中表达的任何观点、发现、结论或建议都是作者的观点,并不一定反映国家科学基金会的观点。

这一项已入账主动学习在数学系列2015课堂实践教师的经验种族和性别的影响和标记.书签的永久链接

留下一个回复

您的电子邮件地址将不会被公布。必填字段被标记

HTML标签是不允许的。

163,281个垃圾邮件程序被阻止简单的评论