数学为逻辑

也许这很明显,但在多年的经验之后,我才能欣赏的东西:数学是逻辑驱动,教学和学习数学是以教学和学习逻辑为中心的。我发现这是真正的哲学上,也是实际上,在我的教学中。甚至在我自己的学习中。

从哲学上讲,这种观点有很深的根源。柏拉图的学院。罗素和怀特黑德。弗雷格,好。这就是我想说的关于这个领域的一切,这超出了我的专业范围。我把它留给那些对逻辑哲学进行更深入思考的人,去把我的经验和他们的工作联系起来。我认为,在这里,考虑“逻辑”就足够了,它涉及到最简单的命题演算:暗示,否定,也许还有量词。

因为我想说的是,在我的教学中,我仔细看看学生有可能更有可能的困难是困难与逻辑的这些基本方面。(相反!)如果学生留下我的课堂,已经了解这些逻辑连接更加强大,我认为我已经成功了。

好吧。“深度学习”。(在教育中,这个短语的含义比它在计算机科学中的用法更普遍,技术含量更低。)对我来说,这有一个特殊的数学意义。它指的是基于逻辑的学习,基于语句之间的联系。我认为它和数学本身是共延的。

如果我们采用这种观点,数学的整个图景就像在山顶上一样展现在我们面前。同样,这个观点也解决了许多关于技能和概念等相对重要性的争论。

那是:如果我们正在连接陈述,我们正在做数学。如果我们没有连接陈述,我们就没有做数学。我们正在做其他事情。陈述不必是数量或长度或函数。这些是数学课堂上逻辑行为的对象。

当然,逻辑在其他教室中的其他物体上行动。我们在学习文献中学习新语言时,我们制定论点并建立逻辑结构。但数学教室是我们直接关注这些活动的地方,其中逻辑最快,最准确地发展。

正如我所指出的那样,这一观点当然有哲学根源伸展回到古代。最近,它是罗斯·罗素的观点:“纯数学是表格的所有命题的课程”暗示Q'......“(见https://todayinsci.com/r/russell_bertrand/russellbertrand-mathematics-quotations.htm.)。但它对教育学也具有非常实际的应用。如果学生正在挣扎,那就是逻辑,他可能正在挣扎。如果您解开了逻辑结,铺设了思想的训练 - 特别是含义 - 这导致了一个解决问题的行动,然后学生将理解并能够解决问题。

当然,“铺设了思想的火车”,我并不意味着'给出一个清醒的解释'。我的意思是让学生构建他或她头部的影响。对于一些(通常毕业)学生来说,这可能意味着给出非常明确的讲座。对于其他人口,它意味着“指导”。我并不声称这种“深度学习”的意义意味着一个特定的教学法。但它为任何教育学的成功设定了标准。

我可以更具体。罗素对数学的定义指向逻辑学习中心:含义的概念。如果我的学生从高中毕业后,真的明白一个陈述暗示另一个陈述的意义,已经训练了寻找这种影响,并且可以判断暗示是否有效或不 - 如果他们可以做到这一切,那么don’t care if they know the formula for sin (x+y) or how to measure an inscribed angle. Or even how to perform long division. As Underwood Dudley has provocatively shown us (https://doi.org/10.1080 / 07468342.1997.11973890),声称数学的实用性(在特定数学结果的意义上)往往被夸大。

但是数学的重要性,被视为含义的研究,不能夸大。这是我们物种的特征。这是导致我们主导我们的环境。它也导致了一些令人难以置信的不人道活动。我留给更严肃的哲学家来决定人类原因的现象是“好”或“坏” - 或者也不是。重点是,它是深刻的人类。

在做出这一声明时,我不同意我们必须“人性化”或“重生”数学的观点。数学几乎按照定义,人类。它是它的用途,它的教学,我们必须审查其人类。

更精确,甚至技术:暗示的定义依赖于陈述与交谈之间的区别。所以我可以进一步在我的狂热声称,知道我是否成功了。如果学生毕业五年后,可以将声明与其相反的声明区分开,即使是逻辑环境中最令人困惑的,那么我已经成功了他或她。不要以为这很容易:我抓住了重要的数学家,或者他们已经抓住了自己,混淆了一个声明。当然,我当然抓住了自己。

我并不是说,如果你知道相反的情况,你就知道数学。我断言,如果你不知道相反的东西,那么你就不懂数学。或者,稍微委婉一点:如果你把一个陈述错当成它的反面,那么你在数学上犯了错误。

例如,在几何课上我们经常教四边形的分类:梯形,平行四边形,矩形等等。学生们经常会说:“如果我们知道一个平行四边形有相等的对角线,那么我们就知道它是一个矩形……或者它可能是一个正方形。”维恩图,说明集合包含,当然可以帮助解开混乱。但是,从这个错误中还可以得出一个更深层次的教训,这个教训可以转化为,并利用到其他经验。这个更深层次的教训体现在用规范的“如果……”形式:如果一个平行四边形是一个正方形,那么它就是一个矩形。但如果它是一个矩形,它可能是也可能不是正方形。

我在各级教育学中发现了这一重要指导原则。即使我们教育幼儿用手触觉的经验,我们教导它们是关于物体,迟早,是受理原因的影响。对我来说,这可以解决关于机械技能的无尽辩论,关于流利或自动化。它以两种方式解决了它。首先,如果你愿意,流利的对象是能够更轻松地推理更容易的推理。你什么时候专注于流利('钻头和杀戮')?当缺乏流利的方式妨碍推理。你什么时候到达计算器?如果没有它会在没有它时会导出你的思想。

第二种方式对逻辑的关注解决了对流利程度的问题更为直接教学:通过在陈述之间进行逻辑连接,最佳地获得流畅性。例如,如果孩子知道8 + 8等于16,则她不必记住7 + 9也等于16或8 + 9等于17,或者80 + 80 = 160或...

这是我从Liping Ma的“知识包”(1999)中所带来的含义。我在别的地方写了关于我如何认为她非常有用的工作可以更具意义(https://www.ams.org/my188bet金宝博journals/notices/201405/rnoti-p504.pdf)。这篇文章是我在这里表达的观点的一步,我只能走到几十年的经历。对于一些读者来说,它可能是完全明显的,并且对别人完全荒谬。我有兴趣听到两种反应。

参考

马立平,《初等数学知识与教学》,高等数学学报。新泽西州马赫瓦公司;伦敦,1999年。

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1回应数学为逻辑

  1. 头像 大卫·弗勒 说:

    非常好的观点。我曾经打击了在线互联网“阴谋理论”,贸易中心塔必须预设拆迁费用,因为它们就像工业拆迁视频中的建筑物一样崩溃。“设定充电 - >直折叠,因此直折叠 - >设定充电。”在意识到这些人不知道基本逻辑后,我很快就会讨论。(不是他们唯一的推理问题。)从那时起,我认为从数学转移到“现实世界”可能是我应该回到我的教学中的东西。我对未来教师的论据,数学本身就像巴赫一样“真实世界”,或者元素也不够。

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