从数学教学到教学学生数学

伊冯·莱(Nebraska-Lincoln大学)

我不想出席。有人选择了我解决几何问题的解决方案,以在1996年的MathFest会议上提出。我不确定这个人是谁,但我已经知道我不欣赏他们。我当时16岁,父亲欣喜若狂,我希望我的父亲从未发现过,因为那时我可以玩愚蠢的人,没有人会更聪明。

我不想提出的问题

我不想展示的解决方案的视觉

那个夏天,我是加拿大/美国Mathcamp的一名学生,该计划的名字描述了其目的。Mathfest和MathCamp都在当年华盛顿大学座位的校园内进行,并且有人有一个绝妙的想法,即将有一些高中生在上图中提出解决方案的解决方案 - 该问题在进入MathCamp的入口申请 - 在Mathfest 1996。

当我遇到我的两个联合总裁时,我发现我们没有人都想出现,我们也没有任何想法,即使是10分钟的数学,也没有人告诉我们任何事情,除了我们应该露面在指定的一天的特定房间。(MathCamp当时是一个年轻的节目,在一时兴起和梦想中成立,当时的基础设施几乎不存在。)那一刻距离酒店十天,我们每个闭幕式都感到恐惧。

在此期间,我们参加了MathCamp的一部分,参加了每日问题解决课程。我们不知道,我们有一个世界一流的解决问题教练:洛伦·拉尔森(Loren Larson)。我们只知道他给出了很棒的解释。我向我的联合总裁求婚,我们向他寻求帮助。我们想知道我们是否会打扰他,但是我们对尴尬(和我的孝顺)的恐惧越来越多,促使我们在上课后与他接近。令我们惊讶的是,他欢迎互动,并在那天晚上和第二天再次与我们会面。

我不记得他告诉我们的所有内容,但我确实记得他使演讲数学看起来很有趣。回想起来,他一定已经授予我们巨大的优雅和耐心。他解释说,我们应该首先向观众介绍问题,并让听众参与解决问题的过程。In such a short presentation, this could mean walking through wrong solutions such as drawing the diagonals of the square, and then posing a rhetorical question to the audience such as, “Drawing the diagonals doesn’t work, but would it be possible to find 4 different triangles that would work?” Then, after the audience was invested in the problem,直到那时- 我们应该浏览自己的解决方案。拉尔森还提出了将天赋带入我们的演讲的方法 - 在关键步骤中,我们应该找到一种方法来建立它,甚至在我们揭露解决方案时甚至表现出惊喜。

他的仁慈给了我暂时的救济,甚至是兴奋的礼物,即将来临。他还给了我一个在观众面前谈论数学时找到快乐的礼物,最终,在接下来的几年中,教授数学。

教学数学

在1996年Mathfest的几年后,作为大学的大三学生,我成为普通微分方程课程的助教,主要由大二工程专业的学生授予。从与我的宿舍交谈,我知道学生们渴望求解方程式如何在工程中出现。从拉尔森(Larson)的课程中,我寻找方法来创造数学的期待和惊喜。我总是确保解释这些问题,邀请学生做一些初步思考,并寻找玩乐的方法。在以一种方式解释阻尼系统的同时,我指着教室门口的弹簧。然后,我解释说,系统没有受阻……猛击!当我们求解二阶恒定系数的恒定系数的普通微分方程时,我计划了一个板,以说明电子电路,另一个板来说明弹簧,以及第三个板上的桌子,以展示这些系统之间美丽的相似之处。

李·舒尔曼(Lee Shulman)在1985年美国教育研究协会的总统讲话中描述了“教学内容知识”,这是一种教学所要求的一种专业技术知识,其中包括“这些思想的最有用的代表形式,是最有力的类比,插图,示例,解释和演示 - 用一个词来表示和制定使其他人可以理解的主题的方式。”

回顾过去,当我第一次开始教大学数学时,我将Larson的建议解释为寻找方法来发展教学知识。当这个想法是一个问题时,老师需要找到一种表示问题的方法,以便学生可以理解。我从MathCamp 1996中获得的主要技术是为解决该问题提出合理的条目,然后展示这些问题可能会失败或表现出希望。

最近,科学家Alan Cowen和Dacher Keltner建议至少可能有27情感的不同品种。我从他们的框架中引用情感,寻找对我的学生进行渴望,娱乐和惊喜的方法,希望他们能通过我的动作和情感来替代这些情绪。最终,我希望他们能敬畏,镇定和审美欣赏数学。

当我成为一名研究生时,我继续发展解释为美学和情感表现。当我在研究生院再次教授普通的微分方程时,这次是唯一的讲师,我建立了一个精神库,类比和插图。舒尔曼(Shulman)在总统的讲话中观察到“没有一种最强大的代表形式,老师必须拥有替代形式的表现形式的名副其实,其中一些是从研究中得出的,而另一些则源于研究实践的智慧。”我没有一个武器库,但我觉得自己开始建造一个。

然后,在我在研究生院的三年级中,我和一些朋友推出了戴维斯数学圈(我最近发现了,今天仍然存在)。在我在那里教授的课程中,关于我的教学的一些事情感到错误。我希望那里的高中生在数学上体验快乐和美丽。然而,教学的绩效概念并不适合似乎对学生有用的概念。似乎最有效的是让他们解决问题,并让他们发现房间里的讲师和助手的脚手架,尽管他们发现了这些模式。我开始将“常规教学”与“数学圈教学”分开,将“数学圈教学”分开为不是真实的教学,也是一个神秘的现象。同时,我认为我经历过“常规教学”的学生可能会从“数学圈教学”中受益,但是样式似乎是无可调和的,以至于我将其作为一个梦dream以求。

教学数学与教学学生数学

研究生院毕业后,我在密歇根大学参加了博士后奖学金,在那里我加入了黛博拉·鲍尔(Deborah Ball)的小组几年,因此参加了基本数学实验室。这是一个夏季的“周转计划”,其老师选择上升的五年级学生参加数学挣扎的基础。鲍尔(Ball)教授EML中的学生两个星期。课程设计由Ball领导,并涉及一组研究员,员工和研究生。多年来,EML的内容发生了变化。当我参加时,课程集中在分数和“火车问题”上,这是解决方案的组合问题。每年都使用了这个问题,学生会坚持数天,以发现没有解决方案,并自豪地提出了他们的解决方案。

EML具有公共教学:学生的座位背后是该计划的20-30名成年参与者的观众,他们实时见证了教学。每次教学课后,我们都会参加胸前和脱毛。参与者的范围从教育研究生到学区领导再到学校教师,再到数学教师。

我参加EML的第一年,另一位参与者指出了“教学数学”和“教学学生数学”并指出:“好老师知道他们教学生数学”。其他人似乎立即同意。这个看似语义上的区别使我感到迷惑不解。我不明白其他所有人似乎本能地理解的区别。毕竟,如果我们面前有学生,我们是否不教学生?如果我们像我一样关心和热爱主题,那么这个主题是否应该具有至高无上的地位?那为什么要强调学生数学?如果没有数学,就没有教学。

同时,我忍不住注意到,鲍尔似乎以尊重学生贡献的方式教授意图和实质性内容。她没有表演解释。然而,学生们渴望学习,他们感到敬畏。

教学学生数学

下一年,代数项目在密歇根州的Ypsilanti建立了一个地点。该项目着重于大一新生代数。我开始每个星期六与班级老师,一名识字专家,数学专家和来自东密歇根大学东部的数学教职员工见面。我们在咖啡店坐了几个小时,我们计划了下周的指示。我没有汽车,所以在星期二,我凌晨5点醒来,骑自行车去了Ypsilanti,那里有24小时的星巴克距离高中一英里不到一英里,代数项目上了一堂课。我在星巴克(Starbucks)工作,直到第一个期前20分钟,当时我骑自行车去高中观察并协助指导。

代数项目课程与我以前见过的任何东西都不像。它是基于最近通过的鲍勃·摩西’课程设计。首先,学生分享有形的经历。这个想法最著名的例子是“跳闸线”,在波士顿地区,早期代数项目网站的学生骑着红线t - - 一条地铁线,在同一套沿同一套件中来回走动停靠点 - 并将他们沿着这条地铁线的旅行映射到真实线上的数字。像真实线一样,地铁线只有两个方向:向后和向前。然后,学生使用图片和写作来代表他们的经历。从这里开始,老师帮助学生将自己的非正式语言与正式的数学语言联系起来,最后将其与代数的符号表示法联系起来。

我对代数项目课程如何在学生的故事和深刻的数学思想中编织的方式感到惊讶。这句话“教导学生数学开始更有意义,但是我仍然对它不太满意。在我的这个时代,我总是开始说,在我自己的课程中,我“教学” - 从某种意义上说,我实际上并没有教学生数学。

但是,我开始尝试将代数项目的课程设计原则调整为我自己的大学教学。在我的课程中至少有一些孤立的日子里,我寻找了建立切实经验的方法,并使用学生的非正式语言作为正式数学的桥梁。在实际分析中,我要求学生画“阴影”,以y- 轴,并利用这个隐喻来发展连续性和Epsilon-Delta证明背后的想法。在抽象的代数中,我要求学生使用某些乘法和添加规则建立套装,并利用他们的经验来定义理想并提出各种环中理想的问题。我注意到这些日子的内容似乎与学生保持更好,尽管事实上我通常无法在这些天进行解释。此外,在这些天,学生们似乎利用了我希望学习数学带来的情绪。

我开始怀疑学生数学”意味着您正在以对学生反应良好的方式教学。数学在那里,但是在某种程度上,在特定的时刻,在您面前的特定学生进行了校准。并不是说数学是被淘汰的,而是老师正在寻找一种将学生的思维与预期的数学融为一体的方法。

每年,我都会发现更多的方法来融合有形的经历,以及从非正式语言到正式语言的桥梁。Although I have never been able to offer this process for all mathematical topics – and to be honest, I’m not sure that I ever will – I have come to believe that the more that I can offer this process, the more my students appreciate how mathematics is done. It’s more than awe and craving and surprise and joy, although these are present. It’s also an appreciation for the very process of mathematics, of探索,发现,猜想和证明 - 并证明与班上其他人的解释。我的表现现在没有执行解释,尽管有时仍然会发生这种解释。而是要扮演我想象的一个隐喻性坐在肩膀上的角色,如果这受到关心和热爱数学,并且可以帮助另一个人以幽默来帮助他人找到这种爱与关怀。

在随后的几年中,我有时回到舒尔曼的报价,以及我第一次与介绍数学相遇。回顾过去,我想知道拉尔森(Larson)是否从来没有想过要把教学的教训作为表演解释,而是教学的教训是邀请他人参与数学过程。当他教我们展示数学时,他没有教呈现对我们;他在教书我们如何呈现。除此之外,他还教会了我们的教学意义学生数学。

当我第一次试图发展教学内容知识时,我相信可能会有无限的强大表现形式集合,其中包含的形式类似于“书”保罗·埃德(Paul Erd)试图阅读。现在,当我偶然发现一系列似乎年复一年的活动时,我想知道我是否找到了这个系列的序列。同时,我也想知道,是否存在这样的收藏,教师是否存在教学学生数学,通过从学生所说和所说的数学过程中建立数学过程。一路上,可能会有快乐。这不是关于学生通过我的表演而经历替代喜悦的。取而代之的是,喜悦来自学生,我在看似奇迹的情况下经历了幸福和敬畏,使学生可以与有形的经历和抽象思想的结合互动并找到快乐。

致谢。我感谢瑞秋·芬克(Rachel Funk)参加启发这篇文章的对话,并向索尔(Saul)和本·布鲁姆·史密斯(Ben Blum-Smith)获得编辑反馈。

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3个回应从数学教学到教学学生数学

  1. 头像 威廉·奥布莱恩(William O'Brien) 说:

    这很漂亮。谢谢你。

  2. 头像 萝拉 说:

    多么美丽的文章,伊冯!希望你一切都好。
    最好的 -
    萝拉(我回到了SOE中的UCD)

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