在娱乐问题解决中找到教学法:思考和经验教训

由Demitrios Roxanas

几年前,当我在谢菲尔德大学(University of Sheffield)开始我的终身工作时,我的首次倡议是为学生(本科生和研究生)和学术人员开始解决问题的研讨会。我必须承认,当我提出设置这些会议的想法时,我有点担心(全面披露:几个月后!):我是一个新的未经测试的雇员,没有明显的相关证书(我从未参加过数学竞赛超越地方一级的比赛),对我的资历非常明显。尽管如此,我还是得到了更多高级同事的支持,其中一些人经历了娱乐性数学问题解决者:他们不仅经常参加我们的会议,而且他们还让我决定我想追求的目标,让我设计我对这些目标做出贡献的活动。

解决问题无疑是学习和创建新数学不可或缺的一部分,但是对于许多数学家而言,解决问题也是最喜欢的消遣。我主要是指在大学前(例如国际数学奥林匹克(IMO))以及本科级别(PUTNAM,国际大学生数学竞赛(IMC))中解决数学竞赛的问题。但是我还包括来自美国数学月度,数学视野,大学数学期刊和数学杂志等期my188bet金宝博刊的问题。我发现自己受到了挑战的吸引,也涉及解决问题的艺术要素,我已经欣赏了它的研究以及我吸收新数学思想和的方式方法问题。

For my PhD I studied at the University of British Columbia (UBC, Vancouver, Canada) where Greg Martin and Dragos Ghioca were organizing a Putnam seminar, which was (is) in part training for the Putnam competition each December. The series was particularly popular with the more ambitious students, whether they planned to take the Putnam or not, and I could see why. No, it wasn’t just because of the free pizza and pop that the department was offering! The problems that were selected for the sessions were (very) difficult and yet deceptively easy to state. To solve them one need not have extensive background beyond the 1st or 2nd year of undergraduate studies, and still they would present an exciting challenge. You had to draw from rather basic material, but to make progress on those problems you would have to use this elementary material in creative ways. I always found this challenge very rewarding, and at UBC it was clear that I wasn’t the only one who felt this way.

My current problem solving sessions (PSS) are held every two weeks in both semesters. The sessions last 1.5-2 hours. They take place in a big lecture hall (when in person) or Blackboard–our Virtual Learning Environment—while all teaching and learning activities were moved online due to the pandemic. When in person, there is always pizza (which is a bit counterintuitive, I am always feeling “slower” after a couple of slices!) and very little structure. I distribute the handouts and then people move around, use the boards, chat, brainstorm, sigh loudly in frustration, but also exclaim in delight when a breakthrough comes. I love it! There are 110+ members in my mailing list for the group and we typically see 30-70 students and faculty joining the sessions.;我estimate the regular members around 40, the vast majority of whom are undergraduate students.

学术人员和研究生始终受到欢迎,尤其是教职员工他们经常参加。有时我们甚至有6-7名学者参加。我无法强调在这些课程中发现教师的存在多么重要。这是增加教师接触并使学生感到学术界的一部分的绝佳机会:学术公民身份也扩展到他们。这是一种轻松而友好的氛围,学生可以轻松地接近教职员工,寻求建议,弹跳他们的想法,要求检查他们的工作,或者只是谈论学术生活和研究。

从教学的角度来看,从中有更多的好处:我没有在会议前与教职员工分享问题和解决方案。故意。尝试这一点的想法是个人反思的结果。多年来,我一直在思考如何提高自己的解决问题的能力并成为更好的研究人员,并且我经常发现自己对书籍和论文中的问题和证明的阅读解决方案感到沮丧,对导致他们的动机毫无头绪。他们怎么知道这样的引理会很有用?他们是否提前知道这个结果?如果是,他们是如何意识到这在此环境中适用的?他们甚至如何认为这是要证明的正确陈述?怎么能learn to see what they see?

当然,在我看来,“他们”通常是一个无面的权威。我永远无法匹配的具有固有的数学才能和照明速度直觉的人。直到我开始与斯蒂芬·古斯塔夫森(Stephen Gustafson)合作博士学位,我才意识到,如果那些,,,,经验丰富且技术熟练的数学家,他们不愿意分享他们的见解和解决问题的方式(就像他一样),我也可以像他们一样开始思考。起初,您可能首先是盲目地应用自己的作品,即使您还没有将它们完全内化或在您的背景下欣赏它们的意义,即使您的原则和规则也是如此。练习和定期反思最终将帮助您掌握它。

这就是为什么我希望学生看到经验丰富的数学家处理具有挑战性的问题,剥夺了大多数背景,并见证了他们的思维过程。我设定的问题通常足以使专业的数学家陷入困境。我将是第一个承认我无法解决的问题,还有许多其他人需要大量时间,努力和横向思考,然后才能发挥作用。我希望PSS还可以作为研究培训。在研究中,我们通常不知道如何开始或哪些工具有用。那一个人可以做什么?您可以尝试小型案例,也可以通过稍微更改问题来实验,例如,删除或添加假设,使用“更好”的功能,而不是“允许”,或者您可以扩大可允许解决方案的空间。而且我发现应该始终在寻找图案的地方。为什么?因为当我发现模式或进行一些观察时,通常会(自然地)提出主张和猜想。 But that’s great news! This is something tangible I can try to prove (or disprove). It is unlikely (at least for me) that one will simply look at the problem and know immediately how to go about it.

一种ll this is very different from what the students are used to from homework and exams. The context is always clear there (it must be relevant to the current chapter we are covering in class…), and there are a handful of possible tools that might be relevant when you are doing an exercise. To quote P. Zeitz (“Art and Craft of Problem Solving”, 2007, John Wiley & Sons) exercises“可能很容易或难以令人困惑”。There is obviously a clear place for exercises in the mathematical curriculum: this is how students learn the mechanics, and how they internalize the theory. Sure, I routinely use “mechanical” exercises to help them solidify their grasp of the material and appreciate the definitions, but also I expose them to harder ones, which I might scaffold if I deem it necessary. But these are still not problems. Problems are perhaps open-ended, and definitely not questions that one immediately sees how to approach. To be more specific about the type of questions I am talking about, consider the following (Putnam 2014, B1):

一种基本10过度膨胀积极整数n is an expression of the form

$ [n = d_k 10^k + d_ {k-1} 10^{k-1} + \ cdots + d_0 10^0] $,

d_k \ neq 0 和$ d_i \ in {0,1,2,\ dots,10} $ for All $ i $。

For instance, the integer $N = 10$ has two base 10 over-expansions: $10 = 10 \cdot 10^0$

和通常的基础10扩展$ 10 = 1 \ CDOT 10^1 + 0 \ CDOT 10^0 $。

哪些正整数具有独特的基础10过度膨胀?

这个问题的困难部分是提出正确的主张来试图证明。然后实际证明该主张是技术和良好的簿记问题。我f you haven’t solved the problem, and I tell you that I claim (and then go about proving it) that the answer is “all the integers with no 0’s in their usual base-10 expansion”, you have every right to feel that the claim came out of the sky, and perhaps question your ability to ever do good mathematics. This is a prime example of a problem that invites investigation (and exactly why I picked it).

我t’s impractical to share here all the experimentation we did with the students to approach this, so let me just outline some of the highlights:

首先玩几个数字,甚至可能是一开始就随机。这里的“播放”是指尝试在两个不同的10个不同的过度扩张中表达积极的整数(数字不同)。

例如,一个人可以开始查看10的倍数,并可以轻松地看到它们不能具有独特的过度膨胀。小于10的数字呢?10之间的数字呢?

Can we be more systematic in our search? Maybe, let’s look at 2-digit numbers first, then 3-digit numbers, and so on?

List your findings. (we are trying to spot a pattern!)

因此,对于范围内的整数(“ *”是任何数字1-9的占位符):

1-9:独特的过度膨胀

10-99:如果倍数为10,即形式 *0。嗯……不是唯一的。

100-999: not unique if multiple of 10, i.e., of the form * * 0 , but wait! I can also find another representation for numbers of the form * 0 * . Hmm…

1000-9099:让我们看看,我可以找到与表单 * * * 0, * * 0 *, * 0 * *的标准基本10表示形式不同的。嗯...!

这已经提示了一种模式!所有这些在小数的扩展中都有0;那时我是否正在寻找通常在他们通常的Base-10扩展中没有0的整数?

一旦建立了具体的“数学”主张,一些人就会证明这一点(这并不难,我邀请所有人尝试)。这是一个问题的一个例子,如果您花时间盯着它,而没有通过一些例子“脏”,那么您甚至可能永远都不会弄清楚如何开始!

我还试图提醒学生,有时您会被固定在错误的模式上,或者您没有检查足够的案例是否有受过教育的猜想,而您试图证明的是实际上并非如此。你知道什么吗?没关系。我们仍然从无效的方法中学习(他们可以告知成功的方法)。此外,许多著名的数学家声称最终是错误的陈述。我们处于良好的陪伴状态!

看到教职员工的处理方式与他们处理研究问题的方式相同,对我的学生来说是具有启发性和激励性的。有趣的是,自从几年前我们在谢菲尔德开始这项活动以来,本科夏季研究项目的吸收急剧增加。作为这两个计划的协调员,我看到参加PSS的人和从事夏季研究的人之间存在重大重叠。在某些情况下,本科生开始参加研究研讨会,或组建高级学习小组,在某种程度上,他们甚至开始共同处理开放问题!

我发现,这种解决问题的方法(即调查和实验),或更确切地说,这种态度不一定是我们学生的发达本能,甚至不一定是更好的本能。但是,再次同意P. Zeitz,可能是教和养育。鼓励与教师的会议互动是一种方法,但这只是我尝试做的事情的一个组成部分。我还通过如何提出解决这些问题的解决方案,当然是通过选择问题来取得进一步的进步。显然,两者是连接的:适当的问题将使我有机会突出这种方法中的步骤。

在编写有关此类问题的解决方案时,我的目标是阐明思维过程,而不是像您在教科书中看到的那样提出线性博览会。So I don’t hesitate to take a nonlinear path, sharing my thoughts along the way, showing dead-ends, adding remarks that explain the state of my insight into the problem, but also how my intuition is strengthened and my insight deepened as I experiment, calculate, and develop small-scale plans. And again, isn’t this how we do research? In my opinion that’s not only an appropriate approach but also a desirable one. To quote Steven Krantz (from “How to Teach Mathematics”, 1999, AMS)“……我们(从特定到一般)而不是演绎(从一般到特定)进行归纳学习。演绎模型非常适合录制数学,但对于发现数学并不适用……”。

作为一名教育工作者,我很高兴这项活动使我能够超越低点(知识,理解和应用)专业知识的阶段(在布鲁姆的分类法中)analysis and synthesis。这正是因为这些问题需要调查,投机和猜想,然后才能接近解决方案。分析和综合中存在的调查要素是,学生在学习数学时很少能体验到。

除了教学原因,谢菲尔德很明显PSS对参与的影响很明显。社区意识更加明显。学生教师互动有所增加。学生们非常积极地看到了这一点:;许多人开始觉得他们是该部门学术界的成员。以前被分配的学生发现了志趣相投的同龄人,他们现在正在一起学习,超越课程,共同参与研究。

话虽如此,还有很多事情要做。参与这些活动的学生在表现较高的活动中被公认,如果我们为他们提供机会,就越有可能参与其中,而他们通常是更倾向于纯粹数学的人。如何与更多的学生接触?我的第一个尝试是包括第二类问题,或者是两个类别。基本上,以技术访谈问题的形式挑战了brainteasers。另一个是“算法难题”,可以以系统的方式解决这个挑战性的问题(也许是在重新铸造为更适合形式的形式之后),例如使用动态编程。我的希望是,这将吸引那些对编程或更“应用”的学生,并为那些具有挑战性的Quant/Software Engineering/Data Science访谈提供一些培训。我的下一个项目将是引入第二个系列围绕数学建模旋转,希望我们能够访问其他学生群体的不同子集。

One of the hardest aspects in organizing this activity was striking a good balance: and trying to be more inclusive, trying to adjust the level of the problems so that students don’t get totally discouraged, but at the same time making them hard enough for students to think outside the box, embrace new techniques and the “investigation-first” attitude that I am hoping to promote; and to also build resilience in the face of challenge. I don’t claim to have found an algorithm for selecting good problems, and I am sure some keen students have been occasionally discouraged despite my best intentions. Other than managing expectations and working towards a supportive environment where “failing” is seen as a necessary (and expected) step of the process, I have tried to adapt too: I have been starting the sessions off with quick, “warm-up” problems, still not trivial, that everyone has a chance to solve. (Groups of) students work independently, so nobody will notice if you spend the whole session working on the “warm-up problem”. Note to self: stop calling it a “warm-up” problem?

对我来说,“焦虑”的另一个来源来自涉及的工作量。在过去的三年中,我为解决问题的会议输入了300多页。我从各种来源编辑了“理论”(证明方法,特定的问题解决策略和技巧),我创建了大约40个讲义,并且为每个问题写了非常详细的解决方案。那需要什么?首先,我确定要讨论的主题,并研究我的来源,以激励方法和示例。在查看官方解决方案之前,我总是自己解决问题,这意味着我可以(非常)卡住,而且我经常不得不丢弃问题(也许是因为有一个非常具体的技巧,或者您需要知道一个相当深奥的结果)。然后我输入所有内容。Looking back I usually need 10-15 hours of preparation for a single problem solving session, and so far I haven’t been able to recycle work from previous years — I think that I will eventually try for a 4-year cycle and hope that my colleagues won’t mind seeing some of the same problems every 4 years!

我想快速讨论过渡到在线会议的过渡,这是Covid-19带来的必要性。这确实需要一种新的方法。您不可能在一个在线会议中复制大型房间里的比萨饼和人民动荡的氛围,我很好 - 意识到,无论我们尝试什么,社交方面都会受到损失。在线会议中的挑战之一是,只有一个人可以同时讲话(除非您当然正在使用“突破室”)。另一个挑战是,很难确保进行一些认真思考的和平与宁静的间隔。我意识到我必须避免长时间的沉默,这很尴尬,所以我改变了会议的格式。我没有在会议上第一次分享问题,而是要提前3-7天发送他们,并要求人们自愿提出他们的解决方案(或者只是他们尝试过的事情)。他们要到会议前一天晚上,让所有人都知道他们是否想这样做(我们总是至少有一名志愿者,无论是学生还是员工)。但这只是其中的一部分,因为那不能保证我们在会议上总是会很开心。而且,如果它不会很有趣,为什么还要做呢?

我在在线版本中介绍的另一个功能是“快速火灾问题”。我的意思是选择一些有趣的问题(通常来自UKMT Senior Mathematical Challenge,可以在5-10分钟内解决的AMC或AIME)。我们将与其中几个开始,然后将它们插入更“严重”的问题的演示和讨论中。因此,我会给我5-15分钟,这取决于问题的困难,这受到了安静的时间,在此期间,鼓励学生向我发送带有问题/解决方案的私人信息。一旦到了,我会要求志愿者提出他们的解决方案,通常使用交互式在线白板(以及可视化器)。这项活动产生了很多互动,并提供了更多的好处,即创造机会使更多的学生能够成功解决(但仍然)具有挑战性的问题。

经过19个月的社会疏远和多次封锁,英国大学最近恢复了面对面的教学。还有什么比攻击艰难的数学问题(在我们正确通风的演讲剧院)更好地庆祝面对面活动的方法?我们的问题解决课程本学期已经获得了历史悠久的出勤记录:一场会议中有65名学生和5名员工,我们定期接待30-40名学生。呢可以想象,我们一直在爆炸!我们迫不及待地想解决今年12月的Putnam竞赛中的问题。

我want to conclude by thanking my colleagues at the University of Sheffield, especially (in alphabetical order) James Cranch, Neil Dummigan, Frazer Jarvis, Jayanta Manoharmayum, Fionntan Roukema, Evgeny Shinder, and Alan Zinober, fok r supporting these activities, for their input and feedback, and more importantly for contributing to a better student experience.

关于作者:Dimitrios Roxanas是英国谢菲尔德大学的数学家。他在不列颠哥伦比亚大学获得博士学位,然后搬到英国,在搬到谢菲尔德之前在爱丁堡大学和巴斯大学度过了几年。在谢菲尔德大学,他是解决问题研讨会的组织者,是下城的协调员

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